Обозначение (факторчто-то)

[Nimza]

Подскажите, пожалуйста, что из себя представляет множество

$\mathcal{H} = (\mathbb{R}^1 \times \mathbb{S}^{n-1}) / \mathbb{Z}_{2}$

У нас общая алгебра практически не преподавалась (была пара занятий на 1 курсе). У меня не получается соотнести то, что справа, и то, что слева от знака $/$, так как $\mathbb{Z}_{2}$ это множество классов вычетов по модулю 2 (то есть класс множеств, а не подмножество исходного множества). А в такой записи я видел только факторгруппы (когда справа стоит нормальная подгруппа группы) и фактормножества (когда справа стоит отношение эквивалентности).

[Sonic86]

Я точно не знаю, но если это факторгруппа, то тогда должно быть задано вложение $\mathbb{Z}_2$ в $\mathbb{R}^1 \times \mathbb{S}^{n-1}$. Например, запись $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})/ \mathbb{Z}_2$ может означать, что задан гомоморфизм, ставящий в соответствие матрице знак определителя. Группа знаков определителя - это как раз $\mathbb{Z}_2$, она нормальна в $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$. Вложение $\mathbb{Z}_2$ в $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$, например, такое: $e \to e \binom{1 \ 0}{0 \ 1}$ для $e \in \{ -1;1\}$.
Типа того

[Kallikanzarid]

Nimza
Видимо, факторпространство по какому-то действию.

[bnovikov]

Nimza в сообщении #502442 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что из себя представляет множество

$\mathcal{H} = (\mathbb{R}^1 \times \mathbb{S}^{n-1}) / \mathbb{Z}_{2}$

Повидимому, прав Kallikanzarid. Но если Вы хотите, чтобы Вас поняли, приведите кусок текста, а не отдельную формулу.

[Nimza]

Цитата:
Имеем $\mathcal{H} = \{ H_{s,w} \mid s \in \mathbb{R}^1, \; w \in \mathbb{S}^{n-1} \}$ и $H_{s,w} = H_{-s,-w}$. Следовательно, можно отождествлять $\mathcal{H}$ и штуку в вопросе.

[Nimza]

Посоветуйте, пожалуйста, ещё какую-нибудь книжку, чтобы побыстрее войти в курс дела

[alcoholist]

Sonic86 в сообщении #502457 писал(а):

Я точно не знаю, но если это факторгруппа

далеко не всякое произведение данного вида имеет естественную структуру группы:)

Имеется ввиду, вероятно, фактор-пространство в топологическом смысле... получится что-то гомеоморфное $[0;+\infty)\times \mathbb{R}R^{n-1}$

[Nimza]

Фактор-пространство в топологическом смысле это просто множество классов эквивалентности (по какому отношению?)? А $\mathbb{R}R^{n-1}$ это что?

[bnovikov]

Nimza в сообщении #502466 писал(а):

Цитата:
Имеем $\mathcal{H} = \{ H_{s,w} \mid s \in \mathbb{R}^1, \; w \in \mathbb{S}^{n-1} \}$ и $H_{s,w} = H_{-s,-w}$. Следовательно, можно отождествлять $\mathcal{H}$ и штуку в вопросе.

Вы, как профессиональный бюрократ, дали мне "отписку". Откуда я знаю, что такое $H_{s,w}$? Вам лень разобраться с этим?

[alcoholist]

Nimza в сообщении #502531 писал(а):

А $\mathbb{R}R^{n-1}$ это что?

Это фактор сферы по антиподальному отображению (центральная симметрия) -- проективное пространство

Nimza в сообщении #502531 писал(а):

Фактор-пространство в топологическом смысле это просто множество классов эквивалентности (по какому отношению?)?

по отношению, Вами заданному... и не просто множество классов, но с фактор-топологией

-- Пт ноя 11, 2011 20:32:55 --

bnovikov в сообщении #502537 писал(а):

Откуда я знаю, что такое $H_{s,w}$?

очевидно, это просто $(s,w)\sim (-s,w+\pi\,\,{\rm mod }2\pi)$, где $s\in\mathbb{R}$, $w\in [0;2\pi]$

[bnovikov]

alcoholist в сообщении #502539 писал(а):

bnovikov в сообщении #502537 писал(а):

Откуда я знаю, что такое $H_{s,w}$?

очевидно, это просто $(s,w)\sim (-s,w+\pi\,\,\mod 2\pi)$, где $s\in\mathbb{R}$, $w\in [0;2\pi]$

Вот если бы Nimza сам разобрался с этим, то, может быть, и вопроса у него не возникало.

[alcoholist]

bnovikov в сообщении #502543 писал(а):

Вот если бы Nimza сам разобрался с этим

It seems to me, что именно ему я не очень помог:))) Только тень на плетень навел... Я даже не сказал, что $n=2$

[Nimza]

Спасибо, тяжко как-то. Мне бы просто понять, что за элементы у того множества.

bnovikov,
да я бы больше написал, если бы знал что этого мало!

В общем предыстория. Вводится функция $\phi(x,\theta) \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n \times (\mathbb{R}^n \setminus \{0\}))$ --- однородная первой степени по $\theta$, с необнуляющимся дифференциалом по иксу и с положительным определителем матрицы $\frac{\partial^2 \phi(x,\theta)}{\partial x^j \partial \theta^k}$. С помощью этой функции мы строим семейство гиперповерхностей $H_{s,w} = \{ x | s = \phi(x,w), s \in \mathbb{R}^1, w \in \mathbb{S}^{n-1}\}$. Из этих свойств кстати следует, что если двум точкам $x$ инцидентны одни и те же наборы гиперповерхностей, то эти точки совпадают. Вот собственно и вся история.

P.S. Если $\phi(x,\theta) = x \cdot \theta$, то мы получим гиперплоскости.

[alcoholist]

Nimza в сообщении #502562 писал(а):

Вводится функция $\phi(x,\theta) \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n \times (\mathbb{R}^n \setminus \{0\}))$

кому вводится? В какое место?

(Оффтоп)

я к тому, что надо бы: пусть $\phi:\mathbb{R}^n \times (\mathbb{R}^n \setminus \{0\})\to \mathbb{R}$ -- бесконечно-дифференцируемая функция, однородная степени 1 по второму аргументу...

Nimza в сообщении #502562 писал(а):

Вот собственно и вся история.

а в чем вопрос?

-- Пт ноя 11, 2011 22:24:37 --

Nimza в сообщении #502562 писал(а):

мы строим семейство гиперповерхностей $H_{s,w} = \{ x | s = \phi(x,w), s \in \mathbb{R}^1, w \in \mathbb{S}^{n-1}\}$

второй аргумент из $S^{n-1}$, или из $\mathbb{R}^n\setminus{0}$?

-- Пт ноя 11, 2011 22:26:58 --

Nimza в сообщении #502562 писал(а):

Из этих свойств кстати следует

из свойств только однородность по второму аргументу... ничего не следует

[Nimza]

alcoholist в сообщении #502579 писал(а):

из свойств только однородность по второму аргументу... ничего не следует

Из положительности определителя и необнуления дифференциала следует (с помощью теоремы о неявной функции).

Второй аргумент со сферы. Вопрос всё тот же! Я не особо понимаю смысла приравнивания $\mathcal{H} = \{ H_{s,w} \} = (\mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1} ) / \mathbb{Z}_{2} $. Точнее понимаю, что это описывает тождественность $H_{s,w}$ и $H_{-s,-w}$, но что строго это означает? Из каких элементов состоит это правое множество?