Несколько вопросов по теории групп Ли

[Bulinator]

Заранее прошу прощения за тупость вопросов.

Пусть $G$- группа Ли, а $H$- ее стабилизатор(изотропная подгруппа, малая группа Вигнера).

(Оффтоп)

Если эти три термина не являются синонимами, просьба не расстреливать а просто сказать. :)

1. Кто сказал, что существует расслоение
$H\to G\to\text{какая-то база}?$
2. Пусть на $G/H$ задана каноническая метрика.
Каноническая метрика, это индуцированная на этом многообразии метрика обертывающего евклидового пространства. Только вот вложение разве нельзя проделать разными способами так, чтобы получились разные метрики?
3. Кто сказал, что группа изометрий ${\cal I}(\frac{G}{H})=G$?(тут еще требуется, чтобы normalizer был равен тождечтвенной группе).

-- Пт ноя 11, 2011 16:47:02 --

Вопросы связаны с последним абзацем страницы 8 обзора:
"N=2 Supergravity and N=2 Super Yang-Mills Theory on General Scalar Manifolds: Symplectic Covariance, Gaugings and the Momentum Map", L. Andrianopoli, M. Bertolini, A. Ceresole, R. D'Auria, S. Ferrara, P. Fre', T. Magri

[type2b]

Малая группа Вигнера тут не при чем. Что это такое, Вы можете посмотреть в википедии. Изотропная подгруппа, или стабилизатор, определяется для многообразия, на котором действует группа, поэтому фраза "ее (группы) стабилизатор" не имеет смысла.
Итак, G -- группа, H -- ее подгруппа.
1. многообразие G/H -- однородное многообразие для группы G. Как группа действует -- очевидно. Это многообразие является базой Вашего расслоения, это тоже очевидно.
2. Не знаю, что такое обертывающее евклидово пространство. Метрика на G/H индуцируется из стандартной инвариантной метрики на G.
3. Группа G действует на G/H и, очевидно, сохраняет метрику.

[alcoholist]

Как $H$ действует на $G$?

[Bulinator]

type2b в сообщении #502503 писал(а):

Что это такое, Вы можете посмотреть в википедии.

Это единственное, что я знаю из всех перечисленных определений :)

type2b в сообщении #502503 писал(а):

многообразие G/H -- однородное многообразие для группы G.

Что значит многообразие ДЛЯ группы?

type2b в сообщении #502503 писал(а):

Как группа действует -- очевидно.

Кому?

alcoholist в сообщении #502536 писал(а):

2. Не знаю, что такое обертывающее евклидово пространство.

Ну... м... я думал... вернее, я предполагал, что т.к. любое многообразие вкладывается в евклидово, то...

alcoholist в сообщении #502536 писал(а):

Как $H$ действует на $G$?

Не понял. Это же подгруппа. Действует как подгруппа. А ежели Вы что то глубокое имели ввиду
Тогда сам выбирай колор и сам крась! А меня здесь нет.(с) то я дал ссылку

[Munin]

type2b в сообщении #502503 писал(а):

Изотропная подгруппа, или стабилизатор, определяется для многообразия, на котором действует группа, поэтому фраза "ее (группы) стабилизатор" не имеет смысла.

Но группа же является одновременно многообразием, на котором она сама и действует?

[type2b]

Однородное многообразие группы, или ДЛЯ группы (хз), -- это многообразие, на котором группа действует транзитивно. Т.е. если на некотором многообразии действует группа G, то оно называется однородным группы G.
По себе в данном случае группа действует, например, левыми сдвигами. А подгруппа $H$ тогда пусть действует правыми сдвигами. Действие группы $G$, очевидно, проносится через факторизацию в действие на $G/H$.

Сама для себя группа является однородным многообразием, конечно.

[Bulinator]

Поверьте, пожалуйста, размышления.
Рассмотрим группу $G$ с элементами $g$ и ее подгруппу $H$ с элементами $h\in H\subset G$.
Сопоставим каждому элементу $g$ множество элементов ${\mathfrak g}=Hg$.
Т.к. $GH\neq HG$, то, понятно, что пространство элементов ${\mathfrak g}$ не будет группой, зато будет пронтранством. Далее, как это подстроить под определение расслоения(например этого) мне уже почти очевидно.

[Bulinator]

type2b в сообщении #502705 писал(а):

Однородное многообразие группы, или ДЛЯ группы (хз), -- это многообразие, на котором группа действует транзитивно.

Иными словами многообразие группы $G$ $M_G$, это такое многообразие с взимооднозначным отображением $x: G \to M_G$. Соответственно для любого $x_0\in M$, существует одно $g$ такое, что $x(g)=x_0$. Действие группы на этом ногообразии определяем как $g_1\circ x(g_2)=x(g_1 g_2)$.

Иными словами, мы задали отображение $p:M_{G}\times M_{G}\to M_G$. Еще потребуем, чтобы оно было гладким и все.
Правильно?

[type2b]

нет, неправильно.

[Bulinator]

type2b в сообщении #502862 писал(а):

нет, неправильно.

Как? Где ошибка?

[type2b]

первое Ваше сообщение верно, а второе неверно. Почему, Вы можете разобраться сами.

[Bulinator]

type2b в сообщении #502905 писал(а):

а второе неверно

Wikipedia писал(а):

A real Lie group is a group which is also a finite-dimensional real smooth manifold, and in which the group operations of multiplication and inversion are smooth maps. Smoothness of the group multiplication

$$\mu: G\times G\mapsto G,\quad \mu(x,y)=xy$$

means that $\mu$ is a smooth mapping of the product manifold $G\timesG$ into $G$. These two requirements can be combined to the single requirement that the mapping

$$(x,y)\to x^{-1}y$$

be a smooth mapping of the product manifold into $G$.

У меня же построено взаимооднозначное отображение группы на многообразие, что, в общем-то и есть наделение группы структурой многообразия. Все остальное совпадает. Что не так?
В случае комплексной группы везде заменяем слово real на complex.

[Bulinator]

Пишу все аккуратно, чтобы вслучае ляпов меня исправили.

Длее, разберемься, что такое изометрии группы. Будем считать, что наше многообразие вложено в какое-то евклидово многообразие $E^k$.
Рассмотрим гладкое отображение $\mathfrak{T}:\mathbb{R}\to G$, такое, что $\mathfrak{T}(0)=g$.

Определение: Линейная оболочка величин $\left.\frac{d\mathfrak{T}}{dt}\right|_{t=0}$ называется касательным пространством к $G$ в точке $g$ и обозначается $TG_g$.

В группе существует выделенная точка $e\in G$(единица группы), которая не изменяется при преобразовании

$$G\to G,\quad g\mapsto hgh^{-1},\quad g,h\in G$$

Это преобразование является внутренним автоморфизмом группы. Понятно, что такое преобразование порождает линейное отображение касательного пространства

$$ad(h):TG_e\to TG_e$$

Понятно, что $\operatorname{ad}(h)^{-1}=\operatorname{ad}(h^{-1})$, $\operatorname{ad}(h_1)\operatorname{ad}(h_2)=\operatorname{ad}(h_1h_2)$ а значит, $ad$ является представлением группы $G$ на линейном пространстве $TG_e$. Тем самым мы задали отображение:

$$G\to GL(n,\mathbb{R\text{ или }\mathbb{C}})$$

Правильно ли я понимаю, что каноническая метрика на $G$ как-то связана с величиной

$$(a,b)=\operatorname{Tr}\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)?$$

-- Пн ноя 14, 2011 15:15:09 --

type2b в сообщении #502862 писал(а):

нет, неправильно.

Понял, понял... Не всякое многообразие, на котором группа действует транзитивно является многообразием этой группы всмысле данного выше определения. Например группа Пуанкаре $T^4\ltimes SO(1,3)$ действует транзитивно на $R^{1,3}$, однако $R^{1,3}$ не является многообразием группы Пуанкаре.
Тут $\ltimes$ означает полупрямое произведение.

(Полупрямое произведение)

Как в $\LaTeX$-е нарисовать знак полупрямого произведения?

[Bulinator]

Понял, понял!!!

Bulinator в сообщении #503620 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что каноническая метрика на $G$ как-то связана с величиной...

Имея эту форму Киллинга, мы можем определить метрику в точке $e$. Она просто равна

$$ds^2=\operatorname{Tr}\left(\operatorname{ad}(dg)\operatorname{ad}(dg)\right)$$

ежели мы хотим определить метрику в любой другой точке $g$, тогда сделаем преобразование $G\mapsto g^{-1}G$. Тгогда элементом длины в точке $g$ будет величина

$$ds^2(g)=\operatorname{Tr}\left(\operatorname{ad}(g^{-1}dg)\operatorname{ad}(g^{-1}dg)\right)$$

-- Пн ноя 14, 2011 16:56:33 --

Правильно?

[type2b]

да, теперь правильно :)