Рядок...

[ildik]

Проверить сходимость ряда

$$ \sum _{n=a}^{\infty } \left( \int _{n}^{n+ \left( \cos \left( \pi \,n \right) \right) ^{2}}\!{\frac {\cos \left( {{\rm e}^{x}}+{x}^{-1} \right) }{{{\rm e}^{x}}+{x}^{-1}}}{dx}\int _{n}^{n+\sqrt {2}}\!{ \frac {1}{ \left( \left( \arctg \left( x \right) \right) ^{2}+1 \right) \left( \left( \ln \left( x \right) \right) ^{2}+1 \right) }}{dx}\int_{1+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}}^{1+{\frac {1}{\sqrt {n}}}}\!{\frac {1}{\sqrt {\ln \left( x \right) }}}{dx} \right) $$

обозначим как :

$$ a_{{n}}=\int _{n}^{n+ 1}\!{\frac {\cos \left( {{\rm e}^{x}}+{x}^{-1} \right) }{{{\rm e}^{x}}+{x}^{-1}}}{dx} $$

$$ b_{{n}}=\int _{n}^{n+\sqrt {2}}\!{\frac {1}{ \left( \left( \arctg \left( x \right) \right) ^{2}+1 \right) \left( \left( \ln \left( x \right) \right) ^{2}+1 \right) }}{dx} $$

$$ c_{{n}}=\int _{1+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}}^{1+{\frac {1}{\sqrt {n}}}}\!{\frac {1}{\sqrt {\ln \left(x \right) }}}{dx} $$

Разобрался, примерно, только с $c_{{n}}$ т.к. функция $f_{{c}} \left( x \right) ={\frac {1}{\sqrt {\ln \left( x \right) }}}$ на промежутке $[1,2]$ всегда положительна, и

$$ c_{{n}}=\int_{1+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}}^{1+{\frac {1}{\sqrt {n}}}}\!{\frac {1}{\sqrt {\ln \left( x \right) }}}{dx}\leq \int _{1}^{1+{\frac {1}{\sqrt {n}}}}\!{\frac {1}{\sqrt {\ln \left( x \right) }}}{dx}=\widehat{c_{{n}}} $$

рассматривая $\widehat{c_{{n}}}$ видим, что монотонно убывает т.к. $[1,1+{\frac {1}{\sqrt {n}}}] \supset [1,1+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}]$. Так же видим $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+{\frac {1}{\sqrt {n}}}=1$, отсюда же $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\widehat{c_{{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }c_{{n}}=0$. Вывод (по Дирихле), что $ c_{{n}} $ сходится.
Помогите разобраться $a_{{n}}$ и $b_{{n}}$. И правильно ли я "обработал" $ c_{{n}} $ ?

[SpBTimes]

Так а что вы по частям то рассматриваете сходимость интегралов? Нужно всё вместе оценить и исследовать, наверное.
$(\cos(\pi n))^2 = 1$
Для оценки $a_n$ можно под интегралом разложить в ряд косинус, после чего оценить ф-ю. В остальных и того проще, там всё монотонненько