Уравнение теплопроводности и теплообмен

[eugrita]

Собственно на тему тепла у меня фактически 2 дилетантских вопроса.
1)как практика по физике
см http://dxdy.ru/topic50786.html
2)как математику хочется "поиграться" граничными краевыми условиями 2-мерной краевой задачи (Дирихле, потом может Неймана).
Собственно вроде итак ясно, что динамическая задача по прошествии времени переходит в статическую, описываемую уравн Пуассона.
Т.е. фактически игра краевыми условиями (какие могут быть формы поверхности статического распределения температуры в зависимости от вида краевых условий). Как я понимаю, что динамика теплопроводности и заключается в том,что поверхности температур в каждый момент t приближаются к статической. Хотелось бы иметь оценки времени переходного процесса. А то студентам дают типовую постановку - параболические краевые условия на каждой сторон прямоугольника.
В результате получают симметричную выпуклую поверхность с максимумом в центре прямоугольника. И даже качественно объяснить и предсказать этот факт (а не получить как результат компьютерного расчета) ни они, ни я не умею. А что например качественно иного может произойти при других краевых условиях на прямоугольнике?

Да еще, чуть не забыл. Модель чайника или кастрюли, греющейся на газу. Полагаю сложновато ее будет рассчитать. Нельзя считать задачу одномерной, т.к нижняя и боковые поверхности соизмеримы и обе подогреваются но в разной степени.

[ewert]

eugrita в сообщении #499601 писал(а):

Хотелось бы иметь оценки времени переходного процесса.

Постоянная времени -- это обратное к первому собственному числу оператора Лапласа (умноженного на коэффициент теплопроводности, конечно) с соотв. граничными условиями. (Для чистой задачи Неймана -- естественно, первое ненулевое, если задача вообще корректна.)

[eugrita]

спасибо. А вот по поводу экстремумов. Собственно есть леммы что решение уравн Пуассона достигает макс хотя бы в 1 точке границы при f>0 , мин при f<0 и мин и мах при f=0 (Лапласа) (сеточный принцип макстмума)
Но если например область прямоугольник с одинаковыми по x и по y граничными условиями на соотв границах x=+-L,y=+-h ,то и решение u(x,y) будет симметрично по x и y.
Как эти утверждения стыкуются с результатми численных расчетов симметричной задачи на прямоугольнике, при параболических условиях на границах типа
$u(x,y)=f(y)=k_1y(h-y) $ при x=.5L,x=-.5L
$u(x,y)=g(x)=k_2x(L-x) $ при y=.5h,y=-.5h
когда максимум u(x,y) достигается в центре области при x=y=0 ???

[ewert]

eugrita в сообщении #501448 писал(а):

Означает ли это что экстремум будет всегда в центре прямоугольника.

Странная постановка вопроса. В зависимости от правой части (т.е. источников тепла) может быть вообще что угодно. Если же источников нет, то не может быть, разумеется, и локальных экстремумов согласно принципу максимума модуля.

[eugrita]

да перепутал. для примера выше если f<0 то решение вогнутая вдоль обоих координат поверхность. и ее min =0 как раз в углах прямоугольника что соответствует леммам.
У меня еще один вопрос по осмыслению.
в электростатике для потенциала системы распределенных зарядов не пользуются уравнением Пуассона, а используют т.н. интегральную формулу
Но ведь например система поверхностно-распределенных зарядов $\rho(x,y)$удовлетворяет уравн Пуассона с источником $-\frac {\rho(x,y)} {\epsilon_0}$
получается решение уравнения Пуассона можно выразить интегральной формулой? (интеграл Пуассона отсюда?) Конечно трудоемкость вычисления поверхностного или объемного интеграла сравнима с трудоемкостью решения уравн Пуассона например по явной схеме итерационным методом (последнее наверное даже проще). И даже для решения уравн теплопроводности, являющегося динамическим обобщением уравн Пуассона используется интегральная форма. Правда почему то интеграл Пуассона любят выражать в полярных координатах безотносительно области

[eugrita]

получается, "проще всего" поверхность решения 2-мерного уравнения даже не Пуассона а Лапласа (гармоническая функция) - она заведомо не будет иметь резких мах и мин, по крайней мере превышающих мах и мин на границах.