Лагранжева механика, Уравнения связи

[srm]

Здравствуйте. Не совсем понимаю как будут выглядеть уравнения Лагранжа при наличии уравнений связи.
Пусть система описывается $n $ обобщёнными координатами и на неё наложено $k$ связей. Движение системы без учёта связей описывается уравнениями Лагранжа:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q_{j}}}L-\frac{\partial}{\partial q_{j}}L=0$, $j=1..n$

При наличии связей $f_{i}\left(q\right)=0$, $i=1..k$ описывается уравнениями с множителями Лагранжа
$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}_{j}}L-\frac{\partial}{\partial q_{j}}L=\sum_{i}\lambda_{i}\frac{\partial}{\partial q_{j}}f_{i}$

Собственно вопрос: множители лагранжа являютсмя функциями обобщённых координат, времени или являются константами? как находятся множители Лагранжа?
По идее, они должны находиться из условия, что траектории движения должны удовлетворять уравненям связей.

[Утундрий]

Вообще-то, уравнения Лагранжа вводятся как раз для того, чтобы не приходилось учитывать (голономные) связи. В данном случае можно разве что порекомендовать ввести обобщенные координаты более соответствующим задаче образом.

[srm]

Утундрий в сообщении #500655 писал(а):

Вообще-то, уравнения Лагранжа вводятся как раз для того, чтобы не приходилось учитывать (голономные) связи. В данном случае можно разве что порекомендовать ввести обобщенные координаты более соответствующим задаче образом.

Нет, есть более общие уравнения движения, которые явно учитывают связи.
http://www.burnlib.com/x/billiardy-geneticheskoe-vvedenie-v-dinamiku-sistem-s-udarami

[Утундрий]

srm в сообщении #500656 писал(а):

есть более общие уравнения движения, которые явно учитывают связи

Учитывают явно, это в смысле не удовлетворяют им автоматически, в отличие от лагранжевых? Ну да, есть такие и даже много. А самыми "общими", без сомнения можно считать уравнения Ньютона. Они вообще все связи "учитывают явно".

[Joker_vD]

srm
Ну да, так они и выглядят. Лямбды — это функции от времени (если связи голономны).

Утундрий
А всегда ли можно выбрать такие обобщенные координаты глобально? Вроде же если там якобиан $\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial q_j}\right)$ плохой, то придется обходиться локальными координатами?

[srm]

Joker_vD в сообщении #500669 писал(а):

А всегда ли можно выбрать такие обобщенные координаты глобально? Вроде же если там якобиан плохой, то придется обходиться локальными координатами?

+1. Введёте обобщённые координаты, соответствующие количеству степеней свободы и получите вырождения. Есть ещё множество неприятных моментов. Например, когда в системе присутствуют односторонние связи.

[Утундрий]

Посмотрел ссылку. На мой не просвещенный в биллиардах взгляд, используемый авторами половинчатый подход не шибко эстетичен, но вполне допускаю, что без него возможно и никак.

[srm]

Всё-таки до меня не доходит. Вот, например, математический маятник:

$\ddot{x}=0$
$\ddot{y}=g$

уравнение связи
$f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}-l^{2}=0$

в итоге получаем:
$\ddot{x}=0+\lambda2x$
$\ddot{y}=g+\lambda2y$ (1)

Но уравнения движения маятника в декартовых координатах выглядят иначе:
$\ddot{y}+\frac{y}{l^{2}-y^{2}}\dot{y}^{2}-\omega^{2}\frac{l^{2}-y^{2}}{l}=0$ (2).

Как из (1) можно получить (2), если $\lambda$ зависит только от времени?

[Утундрий]

srm в сообщении #500689 писал(а):

Как из (1) можно получить (2), если зависит только от времени?

Никак, Joker_vD просто ошибся. И я, чего уж греха таить, протупил. Вот сейчас для верности открыл ЛЛ1, а там черным по белому сказано, что лямбды - функции только координат (в случае неподвижных стенок, если речь идет о биллиарде).

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #500633 писал(а):

Здравствуйте. Не совсем понимаю как будут выглядеть уравнения Лагранжа при наличии уравнений связи.
Пусть система описывается $n $ обобщёнными координатами и на неё наложено $k$ связей. Движение системы без учёта связей описывается уравнениями Лагранжа:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q_{j}}}L-\frac{\partial}{\partial q_{j}}L=0$, $j=1..n$

При наличии связей $f_{i}\left(q\right)=0$, $i=1..k$ описывается уравнениями с множителями Лагранжа
$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}_{j}}L-\frac{\partial}{\partial q_{j}}=\sum_{i}\lambda_{i}\frac{\partial}{\partial q_{j}}f_{i}$

Собственно вопрос: множители лагранжа являютсмя функциями обобщённых координат, времени или являются константами? как находятся множители Лагранжа?
По идее, они должны находиться из условия, что траектории движения должны удовлетворять уравненям связей.

Давайте сперва запишем уравнения Лагранжа со множителями в общей постановке, а не только когда дополнительные связи голономны.
И так. Пусть система задается $(q^1,\ldots, q^m)$ обобщенными координатами, которые подчинены следующим связям

$$a^i_k(t,q)\dot q^k+a^i(t,q)=0,\quad i=1,\ldots,l.\qquad (*)$$

(Ранг матрицы $a^i_j$ максимален)
Тогда уравнения движения системы имеют вид

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}^{j}}-\frac{\partial T}{\partial q^{j}}=Q_j(q,\dot q,t)+\lambda_ia^i_j\qquad (**)$$

Здесь $\lambda_i=\lambda_i(q,\dot q,t)$. Эти функции можно выразить явно следующим образом.
Надо взять полную производную по времени от левой и правой части (*), в полученное равенство войдет вектор $\ddot q$. Этот вектор надо выразить через $q,\dot q,t$ из уравнений Лагранжа (**) и подставить в продифференцированное (*). Оттуда найдутся $\lambda_i$.

[Joker_vD]

Хм.

$$\frac{d}{dt}L_{\dot q} - L_q = - \sum_{j=1}^k \lambda_j(t) \operatorname{grad} f_j(q,t)$$

Это — уравнения Лагранжа для системы с $k$ идеальными голономными связями $f_j(q,t)=0, \; j=\overline{1,k}$.

Или это не так?

[Утундрий]

Joker_vD
Ну очевидно же, что не так, раз маятник улетел... Гляньте ЛЛ1 Гл6 §38 текст после формулы (38.5)

[Joker_vD]

Утундрий
Эй, но там же расссматриваются как раз неголономные связи — текст после формулы (38.2).

А, понял. Это, видимо, опечатка в моем источнике — там лямбды появляются как коэффициенты разложения $\frac{d}{dt}L_{\dot q} - L_q$ по $\operatorname{grad} f_j(q,t)$, и почему они должны зависеть только от времени — не поясняется.

[Утундрий]

Joker_vD в сообщении #500772 писал(а):

но там же расссматриваются как раз неголономные связи — текст после формулы (38.2).

Так оно ж для любых связей работает. Ведь (38.4) можно получить просто проварьировав голономную связь.

[cupuyc]

Ольховский И.И. курс теор механики для физиков МГУ 1974. Довольно хорошо описано на стр. 215.
У Ландау рассмотрен случай лишь специфических связей $\sum c\left(q\right) \dot{q}$