Алгебра (множеств) или нет?

[Kornelij]

Есть класс подмножеств действительной оси, каждый элемент которого есть пересечением двух множеств - открытого и закрытого. Будет ли такой класс алгеброй?
Я пытаюсь делать по определению: показать, что этот класс замкнут относительно дополнения и относительно конечного объединения (или пересечения) . Ни первое, ни второе не выходит. Может это и не алгебра и можно построить контрпример? Или все-таки алгебра?

[Хорхе]

Что такое закрытое множество?

[Kornelij]

Замкнутое.

[Хорхе]

Легко придумать множество (ну, скажем, счетное), чтобы оно было пересечением открытого и замкнутого, но не объединением. Это насчет дополнения.

[Kornelij]

Хорхе в сообщении #498379 писал(а):

Легко придумать множество (ну, скажем, счетное), чтобы оно было пересечением открытого и замкнутого, но не объединением. Это насчет дополнения.

Простите, это Вы о чем?

[Someone]

О том, что тогда его дополнение не будет пересечением открытого и замкнутого.

[Kornelij]

А можно как-то поподробнее, а то гм... ну... никак не понимаю, о чем вы тут говорите.

[Хорхе]

Напишите самое простое счетное незамкнутое множество, которое можете придумать.

[Kornelij]

Например, все рациональные числа отрезка [0,1].

[Хорхе]

Нет, еще проще. Так, чтобы каждая его точка была изолированной.

[Kornelij]

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

[Хорхе]

О! Теперь докажите про него то, что это пересечение, но не объединение, открытого и замкнутого.

[Kornelij]

Первое ("это пересечение...открытого и замкнутого") понимаю как доказать, а втрое, наверное от противного? Первое нам даст, что это множество принадлежит нашему классу, а второе?

[xmaister]

Kornelij в сообщении #499604 писал(а):

наверное от противного

Можно. По предположению в Вашем множестве должно содержаться открытое.

[Хорхе]

Kornelij в сообщении #499604 писал(а):

Первое нам даст, что это множество принадлежит нашему классу, а второе?

Вам уже Someone написал, что даст второе.