Численное решение уравнения Пуассона (метод Фурье)

[Lightmiker]

Интересует численное решение уравнения Пуассона с неоднородными граничными условиями второго рода методом Фурье. Как свести задачу с неоднородными условиями первого рода к задаче с однородными условиями понятно (перенос значения функции на границе в правую часть при записи уравнения в приграничных узлах), но с условиями второго рода этот трюк не проходит, так как портится оператор. Пересмотрел много книг, информации не нашел, надеюсь, кто-нибудь подскажет, что делать.

[ewert]

Перейдите к вариационной постановке задачи: $Au=-f\ \Leftrightarrow\ (Au,u)+2(u,f)=\min.$ Для граничных условий третьего типа $\left.\left(\frac{\partial u}{\partial\vec n}+\beta u\right)\right|_{\partial\Omega}=\gamma$ выпишите квадратичную форму оператора $A=-\Delta:$

$\iiint\limits_{\Omega}(-u\,\Delta u+\frac12uf)\,dV=-\iint\limits_{\partial\Omega}u\,\vec\nabla u\cdot\overrightarrow{dS}+\iiint\limits_{\Omega}(|\vec\nabla u|^2+\frac12uf)\,dV=$

$=\iint\limits_{\partial\Omega}(\beta u^2-\gamma u)\,dS+\iiint\limits_{\Omega}(|\vec\nabla u|^2+\frac12uf)\,dV.$

Теперь сажайте всё это на сетку, минимизируйте полученную квадратичную форму -- и получите замкнутую систему разностных уравнений. (Граничные условия второго и третьего типа, в отличие от первого, являются следствием минимизации квадратичной формы, на область определения которой изначально никаких граничных условий не накладывалось.)

(если ничего не напутал в знаках; ну разберётесь, если что)

[brewer]

Скажу как делается аналитически, может быть поможет. Математически с граничными условиями первого рода мы просто представляем решение уравнения в виде суммы двух функций одна из которых удовлетворяет граничным условиям. В качестве таковой можно взять линейную функцию, интерполированную по граничным точкам. В случае условий второго рода ничто не мемает сделать тоже самое. Получим линейную функцию для производной, откуда интегрируя получим с точностью до константы искомую функцию. Поскольку нужна хотя бы одна какая-нибудь функция, считаем константу равной нулю. Кстати наличие константы объясняется и тем, что задача Неймана, о которой Вы пишите, имеет решение с точностью до константы.