Найти определенный интеграл

[svv]

keep-it-real, скажите, пожалуйста, Вы себе $b$ представляете какого знака (ну, если по-хорошему)? и почему?

[Joker_vD]

Есть простое правило — в пределах интегрирования стоят границы изменения того, что под дифференциалом:

$$\int\limits_{a}^{b}f(g(x))g'(x)\,dx = \int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\,d(g(x)) = \int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(t)\,dt$$

В первом выражении икс меняется от а до бэ, во втором — жэ от икс меняется от жэ от а до жэ от бэ, в третьем — тэ меняется от жэ от а до жэ от бэ. Второе выражение, честно скажу, является небрежным. Но удобным в том плане, что не надо выписывать где-то в сторонке замену $t=g(x)$ — она держится в уме, и мы расцениваем $g(x)$ как цельный символ.

$$\int\limits_0^{+\infty} ax^{14} e^{bx^{15}}dx = \frac{a}{15}\int\limits_0^{+\infty} e^{bx^{15}} d(x^{15}) = \frac{a}{15}\int\limits_0^{+\infty} e^{bt} dt$$

Если икс меняется от нуля до плюс бесконечности, то его пятнадцатая степень тоже меняется от нуля до плюс бесконечности. Это преобразование верно безотносительно к знакам $a$ и $b$. Сейчас вам надо всего лишь найти первообразную $e^{bt}$ и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница — и вот там уже придется учитывать знаки $a$ и $b$.

И просто совет: не стоит заносить константы под знак дифференциала, особенно в определенном интеграле, если их знаки неизвестны, это лишняя морока, а пользы никакой.

[spaits]

Joker_vD в сообщении #499292 писал(а):

Есть простое правило — в пределах интегрирования стоят границы изменения того, что под дифференциалом

Пределы интегртрования поменяются, когда Вы буковку поменяете, а пока $x$ остался, то и пределы для $x$ ставьте.
И кто Вас учил не вносить константу под знак дифференциала? Никакой мороки в этом нет.

[Joker_vD]

spaits в сообщении #499319 писал(а):

Никакой мороки в этом нет.

Ну внесите в интеграле $\int\limits_{-4}^{5} 2bx\,dx$ константу $b$ под дифференциал.

[spaits]

Joker_vD в сообщении #499324 писал(а):

spaits в сообщении #499319 писал(а):

Никакой мороки в этом нет.

Ну внесите в интеграле $\int\limits_{-4}^{5} 2bx\,dx$ константу $b$ под дифференциал.

Ну и внесу. Не под знак квадратного корня же, ничего страшного.
Только в Вашем примере этого не требуется.

[Joker_vD]

Так и в том примере этого не требуется. Оно вообще никогда не требуется. Только учтите, что при $b<0$ у вас верхний предел станет меньше нижнего, а при $b=0$ вообще ничего хорошего не выйдет.

[svv]

Joker_vD писал(а):

верхний предел станет меньше нижнего

Само по себе это не страшно, ведь интеграл определен и для таких пределов:
$\int\limits_a^b f(x) dx = - \int\limits_b^a f(x) dx$

Поэтому, Joker_vD, простите, нам не очень понятно, что мешает поступать так:
$\int\limits_{-4}^{5} 2bx\,dx = \int\limits_{16b}^{25b} d(bx^2) = 9b$
При $b=0$ оба предела обращаются в нуль -- соответственно, и интеграл равен нулю.

(Оффтоп)

Может, это у Вас пережиток средневекового страха перед отрицательными числами?

Вот в задании keep-it-real -- да, действительно. Ну разве что после внесения $b$ под дифференциал писать в верхнем пределе $b\,\infty = (\operatorname{sign} b)\, \infty$. Но и с такой записью есть проблемы -- как понимать её при $b=0$?

[keep-it-real]

я думаю так $b=-1,a=15$