Вопрос по поводу поля Галуа: сумма всех элементов

[Erathia]

Всем привет!
Подскажите как найти сумму всех элементов F[q], где F[q] - поле Галуа

[nnosipov]

Подсказка: мультипликативная группа конечного поля является циклической.

[Joker_vD]

Ноль. А какие еще варианты?

nnosipov
А это-то тут при чем?

[Erathia]

$sum =\sum(_A_{i} ^m + A_{i}^n) = 0 , где m = 1/n $

-- 03.11.2011, 17:59 --

как формула выглядеть будет?

[Joker_vD]

Erathia
Это чего это?

Давайте так: вы напишете сумму всех элементов поля $GF(q)$ и сгруппируете в ней противоположные элементы — если $q\ne 2^k$, то у вас получится все очень хорошо. Если же $q=2^k$, вам придется чуть подумать.

[Erathia]

я написал сумму элементов и обратных к ним

[RIP]

Можно просто заметить, что при умножении на любой ненулевой элемент поля сумма не меняется.

[Joker_vD]

RIP
Но это еще заметить надо...

Ну что может быть проще — у каждого $a$ есть $-a$, их сумма — ноль! Единственная проблема — это когда $a=-a$, но и там все очень просто. Нет, геометрическую прогрессию давайте... цикличность мультипликативной группы...

[Erathia]

Если а = -а, то это тривиально.
К примеры мы взяли поле по модулю 3 и взяли к примеру числа -2, -1, 0, 1, 2
Сумма их будет 0

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #498904 писал(а):

Нет, геометрическую прогрессию давайте... цикличность мультипликативной группы...

Ну, это тоже знать и уметь не помешает. Самое простое --- это то, что RIP предложил (но мне это почему-то во вторую очередь пришло в голову). А как быть, когда $q=2^k$?

[Joker_vD]

nnosipov
Представить как $k$-битные двоичные числа — в каждом разряде по $2^{k-1}$ единиц. Т.е. как вектороне пространство над $GF(2)$. Умножение-то нам без надобности

Erathia
Наоборот, если $a=-a$, это вовсе нетривиально.

Erathia в сообщении #498911 писал(а):

поле по модулю 3 и взяли к примеру числа -2, -1, 0, 1, 2

А ничего, что у вас тут пять чисел, а в $GF(3)$ их всего три? $GF(3)=\{0,1,-1\}$.

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #498917 писал(а):

Представить как $k$-битные двоичные числа — в каждом разряде по $2^{k-1}$ единиц.

Да, действительно, это ведь векторное пространство над полем из двух элементов. Но ведь это тоже требует некоторой фантазии (конечно, цикличность мультипликативной группы несколько сложнее установить). В любом случае при изучении конечных полей так или иначе такие факты придётся узнать.

[Joker_vD]

nnosipov
Ну да. Формулой для суммы прогресси можно без всякой фантазии пользоваться. Кста-а-ати. Да, пожалуй, лучше именно ею — однообразие, плюс всплывает один маленький моментик, который я (да и вы, похоже, тоже), упустили.

[Erathia]

какой?

[Joker_vD]

Воспользуетесь — узнаете. Считайте

$$\underbrace{0+a^0+a^1+a^2+\dots+a^{q-2}}_{\text{$q$ различных элементов}},$$

где $a$ — примитивный элемент поля $GF(q)$.