Линейная оболочка в гильбертовом пространстве

[obezyan]

Готовлюсь к экзамену по функану
После теоремы об элементе наилучшего приближения даны 2 следствия - неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
А вот затем дано интересное определение:
X - гильбертво пространство. M лежащее в X называется замкнутым, если замыкание линейной оболочки <M> = X
Что такое линейная оболочка посмотрел здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Линейная_оболочка
Линейная оболочка подмножества M линейного пространства X — пересечение K всех подпространств X, содержащих M.
А так же по книге Колмогорова Фомина для себя отметил, что это минимально-необходимое множество из исходного пространства, содержащее M и при этом замкнутое относительно операций исходного пространства (т.е. если a,b находятся в K, то и a+b тоже не выходят за пределы K).
Но я не понимаю, как вот это вяжется с тем определением:(. Что вообще означает та замкнутость? Сколь я помню, исходное определение замкнутого множества - множество содержащее свои граничные точки (аналогично - множество содержащее предельные точки). Или здесь идет речь о другой замкнутости?
Так же не понятно, что означает определение: M лежащее в X называется полным, если M-перпендикулярное = { 0 } (M-перпендикулярное - множество элементов x из X ортогональных ко всем f из M).
В частности, следом идет теорема: Ортонормированная система $ { e_n }$ в гильбертовом пространстве X полна тогда и только тогда, когда она замкнута.
Как это все нужно понимать?

[Brukvalub]

obezyan писал(а):

..M лежащее в X называется замкнутым, если замыкание линейной оболочки <M> = X...

-это определение является стандартным для теории Гильбертовых пространств и оно означает, что замыкание (в обычном смысле топологического пр-ва с топологией, порождённой метрикой, порождённой длиной, порожденной скалярным произведением ) линейной оболочки множества М совпадает со всем пространством Х.

obezyan писал(а):

M лежащее в X называется полным, если M-перпендикулярное = { 0 }

здесь мне непонятно, что в этом определении можно не понять. Ну нет ненулевых векторов из Х, которые были бы перпендикулярны одновременно всем векторам из М, и всё тут. Эти определения чаще всего используются в случае, когда М является множеством попарно ортогональных векторов единичной длины из Х, то есть, ортонормированной системой векторов и используются в теории абстрактных рядов Фурье по таким системам. См., например,стр. 13 из : http://imcs.dvgu.ru/struc/kmf/download/func_res.pdf .

[obezyan]

Brukvalub писал(а):

obezyan писал(а):

..M лежащее в X называется замкнутым, если замыкание линейной оболочки <M> = X...

-это определение является стандартным для теории Гильбертовых пространств и оно означает, что замыкание (в обычном смысле топологического пр-ва с топологией, порождённой метрикой, порождённой длиной, порожденной скалярным произведением ) линейной оболочки множества М совпадает со всем пространством Х.

Так.. а как получить это замыкание? Есть какой-нибудь простой пример? А то линейная-то оболочка с трудом понимается.. а замыкать ее еще в добавок - что-то уж совсем тяжело представляется:(.
Правильно ли будет представлять себе это (ну люблю я все сложное на жутко простых вещах представлять) таким примером:
Пространство - простые вектора из $ R^2 $. Базис, если я правильно помню, ортонормированный для него можно было задать двумя векторами: (0,1) и (1,0).
Линейной комбинацией этих векторов мы могли получить любой вектор из нашего пространства исходного. Т.е. линейная оболочка множества состоящего из этих двух векторов - это все пространство исходное.
Соответственно в теореме доказывалось, что если этот базис полный (т.е. состоит именно из двух векторов, а не только из одно (0,1) и соответственно перпендикулярный всему этому множеству сразу не вектор (1,0), а только вектор (0,0)), то он замкнут (т.е. линейная оболочка этого множества - все исходное пространство).
Правда исходное пространство я взял не совсем Гильбертовым.. но это не так страшно я думаю..
Но в этом примере уже линейная оболочка 2 векторов совпадала со всем пространством.. А когда нужно именно замыкание (т.е. добавить еще и граничные точки)?

Цитата:

obezyan писал(а):

M лежащее в X называется полным, если M-перпендикулярное = { 0 }

здесь мне непонятно, что в этом определении можно не понять.

Не понятно почему называется именно полным:). Опять таки вспоминая начало курса, приходит в голову что всякая фундаментальная последовательность сходится. Но это было для пространства:). Эта полнота ни коим образом с той не связана?
После этого пояснения стала понятна теорема, правда с ее доказательством не очень.
Сказано, что если $ {e_n} $ замкнута в X, то зафиксировав вектор x из X, мы можем как угодно точно линейными комбинациями векторов $ E^n $ приблизить вектор x. Т.е. сходится ряд Фурье к вектору x.
Вот здесь не понятно, как мы так воспользовались замкнутостью, чтобы утверждать, что можем приблизить вектор линейными комбинациями векторов (при том непонятно откуда "выскочившего" множества $ E^n $).

[Brukvalub]

obezyan писал(а):

если $ {e_n} $ замкнута в X, то зафиксировав вектор x из X, мы можем как угодно точно линейными комбинациями векторов $ E^n $ приблизить вектор x.

это и означает, что линейная оболочка семейства $ {e_n} $ всюду плотна в Х, то есть её замыкание совпадает со всем Х (в любой окрестности любого элемента из Х есть вектор из этой линейной оболочки) При этом, конечно, с увеличением требуемой точности приближения размерность n пространства $ E^n $ может и должна, вообще говоря, возрастать .

obezyan писал(а):

Правда исходное пространство я взял не совсем Гильбертовым.. но это не так страшно я думаю..
Но в этом примере уже линейная оболочка 2 векторов совпадала со всем пространством.. А когда нужно именно замыкание (т.е. добавить еще и граничные точки)?

А Ваш пример с конечномерным векторным пространством крайне неудачен, в конечномерных пространствах все тонкие свойства Гильбертова пространства вырождаются, в частности, в конечномерном пространстве всякое замкнутое ограниченное множество-компакт, а в Гильбертовом пространстве - нет. Это все равно, что для понимания геометрии на большой сфере (на Земле) для простоты считать её плоскостью-никакого реального понимания так получить нельзя!

[obezyan]

Brukvalub писал(а):

obezyan писал(а):

если $ {e_n} $ замкнута в X, то зафиксировав вектор x из X, мы можем как угодно точно линейными комбинациями векторов $ E^n $ приблизить вектор x.

это и означает, что линейная оболочка семейства $ {e_n} $ всюду плотна в Х, то есть её замыкание совпадает со всем Х (в любой окрестности любого элемента из Х есть вектор из этой линейной оболочки) При этом, конечно, с увеличением требуемой точности приближения размерность n пространства $ E^n $ может и должна, вообще говоря, возрастать .

А, точно! Т.е. то определение можно переформулировать и сказать, что линейная олоболчка - всюду плотное множество в X? Это звучит уже менее страшно:)
Так.. а что такое это $ E^n $ - откуда оно появилось? Это и есть та линейная оболочка?
Спасибо за разъяснения - кое что лучше понимать стал:). Даже из начала курса:).

[Brukvalub]

obezyan писал(а):

Так.. а что такое это $ E^n $ - откуда оно появилось? Это и есть та линейная оболочка?

да, это линейная оболочка первых n векторов сисемы $ {e_n} $ .

[RIP]

Brukvalub писал(а):

obezyan писал(а):

Так.. а что такое это $ E^n $ - откуда оно появилось? Это и есть та линейная оболочка?

да, это линейная оболочка первых n векторов системы $ {e_n} $ .

т.е. линейная оболочка векторов $e_1,e_2,\ldots,e_n$.

[obezyan]

так..
а теперь сразу уже чтобы полностью со всюдуплотными множествами разобраться..
Сейчас лекции пересмотрел - не нашел вот этого утверждения, что множество M всюду плотно в X, если всякую точку x из X можно приблизить линейной комбинацией векторов из M:(.
Что имеется: определение предельно точки a множества E - в любой ее окрестности имеются точки из Е отличные от a.
Утверждение, что а - предельная точка множества E <=> существует последовательность точек из E сходящаяся к a, отличных от а.
Утверждение, что множество замкнуто <=> содержит все свои предельные точки.
Все это правда без доказательства, но думаю на экзамене если потребуется то доказательство придумаю..
Так.. и есть определение всюду плотного множества M в X - множество, замыкание которого совпадает со всем X с пояснением - как угодно близко к X найдутся точки из M.
Возможно что-то еще важное, что я упустил..
Правильно ли я понимаю, что возможность приближения последовательностью точек:
если множество M - всюду плотно, то замыкание его совпадает с X, замыкание M - множество замкнутое, соответственно содержит все свои предельные точки. Раз множество замыкание содержит все свои предельные точки, то для каждой предельной точки x из замыкания M мы можем построить сходящуюся к x последовательность точек из множества M. Но как получается возможность построить линейную комбинацию из точек всюдуплотного множества?

[RIP]

obezyan писал(а):

Сейчас лекции пересмотрел - не нашел вот этого утверждения, что множество M всюду плотно в X, если всякую точку x из X можно приблизить линейной комбинацией векторов из M:(.

Конечно, не нашли. Это неверное утверждение. Правильно так:
Линейная оболочка множества M всюду плотна в X, если всякую точку x из X можно приблизить линейной комбинацией векторов из M (с любой точностью)

[obezyan]

RIP писал(а):

obezyan писал(а):

Сейчас лекции пересмотрел - не нашел вот этого утверждения, что множество M всюду плотно в X, если всякую точку x из X можно приблизить линейной комбинацией векторов из M:(.

Конечно, не нашли. Это неверное утверждение. Правильно так:
Линейная оболочка множества M всюду плотна в X, если всякую точку x из X можно приблизить линейной комбинацией векторов из M (с любой точностью)

Так.. а это как доказывается? Хотя бы из чего следует?

[RIP]

Это следует из определений линейной оболочки и всюду плотного множества.

Добавлено спустя 5 минут 48 секунд:

Я подразумевал такое определение линейной оболочки:
Линейная оболочка множества $M$ в векторном пространстве - множество всевозможных линейных комбинаций векторов из $M$

[Brukvalub]

RIP писал(а):

Линейная оболочка множества $M$ в векторном пространстве - множество всевозможных линейных комбинаций векторов из $M$

Лучше так: множество всевозможных линейных комбинаций всевозможных конечных наборов векторов из $M$

[obezyan]

аа жесть:)
я сдал функан:)
еле-еле на 4 вытянул, но вытянул:)
всем спасибо, премного благодарен за оказанную помощь в подготовке:)