Степень минимального многочлена.

[StudentKB]

Подскажите пожалуйста способ того как доказать что характеристический многочлен эндоморфизма некого векторного пространства делит k-ю степень минимального многочлена того же линейного оператора, причем k$\leq$n. Пробовал много способов но все никак не приду к нужному. Описывать тут очень долго все что я пытался сделать, поэтому просто прошу идею.)

[Joker_vD]

По-моему, вам нужно всего лишь показать, что если характеристический многочлен

$$\chi_A(\lambda) = (\alpha_1-\lambda)^{k_1}\dots (\alpha_m-\lambda)^{k_m},$$

то минимальный многочлен имеет вид

$$\mu_A(\lambda)=(\alpha_1-\lambda)^{l_1}\dots (\alpha_m-\lambda)^{l_m},$$

где $0 < l_i \leqslant k_i$.

Тогда при возведении $\mu_A(\lambda)$ в степень его показатели рано или поздно (скорее, рано) перерастут все $k_i$.

[StudentKB]

Как я понял, индекс с номером m у хар-го мн-на у вас это размерность векторного пр-ва(dim V =m).
Тогда "конечный" индекс у минимального не будет m, т.к. $\mu_{A}(\lambda)|\chi_{A}(\lambda)$.
То есть если мы будем возводить $\mu_{A}(\lambda)$ в степень, то как доказать, что у минимального многочлена появятся множители которых не хватает чтобы характеристический его делил.
Извиняюсь, если выразился не понятно)

Также забыл сказать что это является следствием из той теоремы что если g(x)-неприводимый делитель $\chi_{A}(\lambda)$, то g(x) делит и минимальный многочлен. Думаю это как-то надо использовать.

[Joker_vD]

StudentKB в сообщении #497160 писал(а):

Также забыл сказать что это является следствием из той теоремы что если g(x)-неприводимый делитель , то g(x) делит и минимальный многочлен. Думаю это как-то надо использовать.

Ну так и докажите написанные мной равенства, раз у вас есть такая шикарная теорема.

[StudentKB]

Все, я понял. Большое вам спасибо. Весь день ковыряюсь с этим следствием, а самого элементарного не заметил.