2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Степень минимального многочлена.
Сообщение29.10.2011, 18:49 
Подскажите пожалуйста способ того как доказать что характеристический многочлен эндоморфизма некого векторного пространства делит k-ю степень минимального многочлена того же линейного оператора, причем k$\leq$n. Пробовал много способов но все никак не приду к нужному. Описывать тут очень долго все что я пытался сделать, поэтому просто прошу идею.)

 
 
 
 Re: Степень минимального многочлена.
Сообщение29.10.2011, 19:16 
По-моему, вам нужно всего лишь показать, что если характеристический многочлен $$\chi_A(\lambda) = (\alpha_1-\lambda)^{k_1}\dots (\alpha_m-\lambda)^{k_m},$$ то минимальный многочлен имеет вид $$\mu_A(\lambda)=(\alpha_1-\lambda)^{l_1}\dots (\alpha_m-\lambda)^{l_m},$$ где $0 < l_i \leqslant k_i$.

Тогда при возведении $\mu_A(\lambda)$ в степень его показатели рано или поздно (скорее, рано) перерастут все $k_i$.

 
 
 
 Re: Степень минимального многочлена.
Сообщение29.10.2011, 19:36 
Как я понял, индекс с номером m у хар-го мн-на у вас это размерность векторного пр-ва(dim V =m).
Тогда "конечный" индекс у минимального не будет m, т.к. $\mu_{A}(\lambda)|\chi_{A}(\lambda)$.
То есть если мы будем возводить $\mu_{A}(\lambda)$ в степень, то как доказать, что у минимального многочлена появятся множители которых не хватает чтобы характеристический его делил.
Извиняюсь, если выразился не понятно)

Также забыл сказать что это является следствием из той теоремы что если g(x)-неприводимый делитель $\chi_{A}(\lambda)$, то g(x) делит и минимальный многочлен. Думаю это как-то надо использовать.

 
 
 
 Re: Степень минимального многочлена.
Сообщение29.10.2011, 19:42 
StudentKB в сообщении #497160 писал(а):
Также забыл сказать что это является следствием из той теоремы что если g(x)-неприводимый делитель , то g(x) делит и минимальный многочлен. Думаю это как-то надо использовать.

Ну так и докажите написанные мной равенства, раз у вас есть такая шикарная теорема.

 
 
 
 Re: Степень минимального многочлена.
Сообщение29.10.2011, 19:50 
Все, я понял. Большое вам спасибо. Весь день ковыряюсь с этим следствием, а самого элементарного не заметил.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group