Глупая школьная задачка

[Taus]

Две задачки, по моему мнению, эквивалентные.
1. Есть покоящаяся заводная машинка (на пружинке) с запасенной потенциальной энергией $U$. Машинку отпускают, при этом вся потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Она достигает какой-то скорости $v_0$, т.е. изменение кинетической энергии составило $\frac{mv_0^2}{2}$. Теперь перейдем в систему отсчёта, которая движется в противоположном направлении движению машинки со скоростью $u_0$. Тогда конечная скорость машинки будет $u_0 + v_0$, и изменение кинетической энергии $\frac{m(u_0 + v_0)^2}{2} - \frac{mu_0^2}{2} \neq U$. Где ошибка в рассуждениях?
2. Тело висит на небольшой высоте $h$ над землёй. В нулевой момент времени его отпускают. К моменту касания земли тело имеет скорость $v_0 = \sqrt{2gh}$. Перейдем в систему отсчёта, двигающаяся в противоположном направлении со скоростью $u_0$. Опять же считаем изменение кинетической энергии, которое получается не равным потенциальной энергии.

Ум за разум заходит. Понимаю, что нужно как-то учитывать движение Земли, но не могу понять как Помогите разобраться.

[Munin]

По закону сохранения импульса. Пусть масса Земли $M,$ тогда в неподвижной системе отсчёта она приобретает скорость $V_0,$ направленную в противоположную сторону, $V_0=mv_0/M.$ Так как $M$ очень велика, то $V_0$ очень мала, и в законе сохранения энергии, куда она входит в квадрате, вклад Земли $MV_0^2/2$ практически можно не учитывать. Но когда мы переходим в движущуюся систему отсчёта, кинетическая энергия Земли сразу становится огромной, и разность
$\dfrac{M(V_0-u_0)^2}{2}-\dfrac{Mu_0^2}{2}=\dfrac{MV_0^2}{2}-MV_0u_0\approx-MV_0u_0=-mv_0u_0$
оказывается как раз нужной величины, чтобы дать "лишнюю" энергию машинке.

[Mega Sirius12]

а причем здесь вообще импульс Земли?
Просто во второй системе отсчета тело пройдет больший путь, следовательно больше кин энергии перейдет в потенциальную

[Joker_vD]

Забавно. Выходит, говорить про энергию незамкнутой системы вообще бессмысленно? Если она меняется от простой смены координат?

Но Munin, а как быть с первой задачкой? Там-то ничего больше нет, кроме потенциального поля...

[venco]

Joker_vD в сообщении #496647 писал(а):

Но Munin, а как быть с первой задачкой? Там-то ничего больше нет, кроме потенциального поля...

А там есть опора, которую толкает другой конец пружины. Тоже самое, что и с Землёй во второй задаче.

[Munin]

Joker_vD в сообщении #496647 писал(а):

Забавно. Выходит, говорить про энергию незамкнутой системы вообще бессмысленно? Если она меняется от простой смены координат?

Ну почему, не бессмысленно, надо только уточнять всё. Меняться-то меняется, но по определённым законам. Это не хуже того, что координаты вектора импульса у вас меняются от поворота осей координат.

Joker_vD в сообщении #496647 писал(а):

Но Munin, а как быть с первой задачкой? Там-то ничего больше нет, кроме потенциального поля...

Со второй, вы хотите сказать? Первая про машинку, вторая про потенциальное поле.

Кажется, так. Когда мы записываем лагранжиан такой системы, мы видим, что потенциал линейно зависит от времени, значит, сдвиговой симметрии по времени у системы нет. Чтобы найти интеграл движения, в который превратилась энергия, мы должны эту линейную зависимость вычесть. И то, что останется, будет сохраняться. Называть его энергией будет уже не совсем корректно. Хорошо, что поле однородное, иначе найти интеграл движения было бы не так просто (если бы он вообще был, в чём я не уверен).

[venco]

Что-то вы перемудрили. Баланс энергий сохранится, если учесть изменение кинетической энергии опоры. В первой ИСО это изменение мало (если масса велика), а вот во второй ИСО, где опора движется, пренебрегать ею нельзя.

[Joker_vD]

Munin в сообщении #496668 писал(а):

Со второй, вы хотите сказать? Первая про машинку, вторая про потенциальное поле.

Нет, с первой. Вы во второй потенциальное поле явно не трогали, обошлись рассмотрением связки тело-Земля, а в первой есть машинка и потенциальное поле (раз уж мы смогли ввести потенциальную энергию), и все, больше ничего.

Munin в сообщении #496668 писал(а):

Кажется, так. Когда мы записываем лагранжиан такой системы, мы видим, что потенциал линейно зависит от времени, значит, сдвиговой симметрии по времени у системы нет. Чтобы найти интеграл движения, в который превратилась энергия, мы должны эту линейную зависимость вычесть. И то, что останется, будет сохраняться. Называть его энергией будет уже не совсем корректно. Хорошо, что поле однородное, иначе найти интеграл движения было бы не так просто (если бы он вообще был, в чём я не уверен).

Хм. Но если у системы нету интеграла энергии, не значит ли это, что ее можно расширить до системы, у которой он будет?

Munin в сообщении #496668 писал(а):

Ну почему, не бессмысленно, надо только уточнять всё. Меняться-то меняется, но по определённым законам. Это не хуже того, что координаты вектора импульса у вас меняются от поворота осей координат.

Но это как-то неожиданно, что такое всплывает в классическом случае. Это ж можно попытаться составить подобие 4-вектора энергии-импульса... вообще, хорошая задачка, Taus молодец, что над ней задумался.

venco
Но разве в первом варианте есть опора?

[Maslov]

По-моему, нет тут никаких неожиданностей. В обеих задачах одни и те же формулы.

Про гирьку:

Рассматривать систему координат, связанную с Землей, неинтересно: Земля с ускорением падает на гирьку, т. е. такая СК не является инерционной. Поэтому рассмотрим Землю с гирькой в системе координат, связанной с их центром масс, и в системе, движущейся относительно нее со скоростью $u$.

В системе координат, связанной с центром масс:

$\Delta K_1 = \dfrac { m v^2} 2 + \dfrac { M V^2} 2$

$m, M$ - масса гирьки и Земли соответственно.
$v, V$ - скорости гирьки и Земли в момент столкновения

В системе координат, движущейся относительно первой со скоростью $u$:

$\Delta K_2 = \dfrac { m (v+u)^2} 2 + \dfrac { M (V-u)^2} 2 = \Delta K_1 + u (m v - M V)$

По закону сохранения импульса, $mv = MV$, поэтому $\Delta K_1 = \Delta K_2$.

У пчелок С машинкой все то же самое.

Как уже сказал venco, не надо усложнять :)

[venco]

Joker_vD в сообщении #496673 писал(а):

venco
Но разве в первом варианте есть опора?

Ну а за счёт чего машинка скорость набрала?

[whiterussian]

Вторая задачка легко решается, исходя из закона сохранения энергии.
Первая часть. Пусть за ноль потенциальной энергии взята точка начала движения. Тогда:
$PE_{ini}+KE_{ini}=PE_{fin}+KE_{fin}$,
$PE_{ini}-PE_{fin}=KE_{fin}-KE_{ini}$,
$0-(-mgh)=\frac{mv^2}{2}-0$
Время пролета можно вычислить по формуле: $v=gt \rightarrow t=\frac{v}{g}$
Вторая часть.Пусть за ноль потенциальной энергии взята точка начала движения. Тогда:
$PE_{ini}+KE_{ini}=PE_{fin}+KE_{fin}$,
$PE_{ini}-PE_{fin}=KE_{fin}-KE_{ini}$,
С кинетческой энергией у вас проблем нет.
В расчете же потенциальной энерии важно помнить, что начальная точка постоянно поднимается со скоростью $u$. Это значит, что конечная потенциальная энергия равна $PE_{fin}=-mg(ut+h)$. Откуда $mg(u\frac{v}{g}+h)=\frac{m(v+u)^2}{2}-\frac{mu^2}{2}$
$muv+mgh=\frac{m(v^2+u^2+2vu)}{2}-\frac{mu^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+muv$.
Т.е. всё хорошо, и никаких проблем.

Аналогично решается и первая задача.Вы хотите в ней использовать стандартную пружину?

[venco]

whiterussian в сообщении #496687 писал(а):

Вторая часть.Пусть за ноль потенциальной энергии взята точка начала движения. Тогда:
$PE_{ini}+KE_{ini}=PE_{fin}+KE_{fin}$,
$PE_{ini}-PE_{fin}=KE_{fin}-KE_{ini}$,
С кинетческой энергией у вас проблем нет.
В расчете же потенциальной энерии важно помнить, что начальная точка постоянно поднимается со скоростью $u$. Это значит, что конечная потенциальная энергия равна $PE_{fin}=-mg(ut+h)$.

Это как? Мне это кажется подгонкой к ответу.

Если ось координат ИСО2 направлена вниз, то в ИСО2 в начальный момент груз имеет скорость $v_s=-\sqrt{2gh}$, а в момент касания $t=\sqrt{\frac {2h} g}$ скорость занулится: $v_f=0$.
За это время нулевой потенциал гравитационного поля сдвинется на $2h$, а груз - на $h$, так что, как и в ИСО1, изменение потенциальной энергии будет равно $-mgh$.

Всяко надо изменение скорости Земли учитывать.

[whiterussian]

venco
Мне вас не понять, наверное... Откуда все ваши данные? Из какой задачи? Какая разница куда направлять оси?

[ewert]

Joker_vD в сообщении #496673 писал(а):

во второй потенциальное поле явно не трогали,

Что значит "не трогали". Поле-то сохранилось, а вот потенциальная энергия изменилась -- просто потому, что

Mega Sirius12 в сообщении #496644 писал(а):

во второй системе отсчета тело пройдет больший путь

Joker_vD в сообщении #496673 писал(а):

а в первой есть машинка и потенциальное поле

А вот нет там как раз никакого потенциального поля. Энергия есть, а поля -- нет. Энергия -- это работа, которую может совершить пружинка при своём раскручивании, но это вовсе никакое не "поле" относительно поступательного движения даже в неподвижной СО.

[Maslov]

whiterussian в сообщении #496687 писал(а):

В расчете же потенциальной энерии важно помнить, что начальная точка постоянно поднимается со скоростью $u$. Это значит, что конечная потенциальная энергия равна $PE_{fin}=-mg(ut+h)$.

whiterussian,
объясните, пожалуйста, каким образом в выражение для потенциальной энергии грузика в поле тяжести Земли попала скорость движения начала системы отсчета $u$? Мы же не потенциальную энергию начала координат считаем, а потенциальную энергию груза.

На мой взгляд, требовать выполнения закона сохранения энергии в неинерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, неправильно; никого же не удивляет нарушение в ней закона сохранения импульса.

Если же рассмотреть обычную задачу двух тел, взаимодействующих с силой

$F = G \dfrac {mM} {r^2}$

и расписать их сближение с расстояния $R+h$ до расстояния $R$, то никаких загадок не останется.