Метризуемость топологии

[JMH]

Someone в сообщении #494762 писал(а):

Предположим, на множестве $X$ заданы топология $\tau$ и метрика $d$. Объясните нам, что это значит, что метрика $d$ порождает топологию $\tau$.

Полагаю, это значит, что шары с центрами в точках $X$ и разнообразными радиусами образуют базис или предбазис топологии $\tau$.

В применении к данной задаче, т.к. базис порядковой топологии образован интервалами трёх видов: $(a,b)$, $[a,b)$ и $(a,b]$, я хотел подобрать метрику так, чтобы открытые и замкнутые шары, определяемые этой метрикой, образовывали предбазис порядковой топологии, т.е. чтобы из их конечных пересечений можно было получить интервалы трёх указанных видов.

[Someone]

JMH в сообщении #494907 писал(а):

Полагаю, это значит, что шары с центрами в точках $X$ и разнообразными радиусами образуют базис или предбазис топологии $\tau$.

Базу. То есть, шары являются открытыми множествами, и для каждого открытого множества $U\subseteq X$ и каждой точки $x\in U$ существует такое число $\varepsilon>0$, что $B(x,\varepsilon)\subseteq U$. Вот это свойство и надо проверять.

JMH в сообщении #494907 писал(а):

базис порядковой топологии образован интервалами трёх видов: $(a,b)$, $[a,b)$ и $(a,b]$

Я не совсем понял. Эти полуинтервалы - окрестности наименьшего и наибольшего элементов множества? Тогда это надо уточнить. Но в том множестве, которое мы рассматриваем, наименьшего и наибольшего элемента нет, поэтому остаются только интервалы $(a,b)$. Обычно порядковая топология определяется предбазой, состоящей из множеств двух видов: $(a,+\infty)=\{x\in X:x>a\}$ и $(-\infty,b)=\{x\in X:x<b\}$ (это определение используется и для частично упорядоченных множеств). Но можно и так, как Вы написали.

JMH в сообщении #494907 писал(а):

я хотел подобрать метрику так, чтобы открытые и замкнутые шары, определяемые этой метрикой, образовывали предбазис порядковой топологии, т.е. чтобы из их конечных пересечений можно было получить интервалы трёх указанных видов.

Это Вы что-то нехорошее выдумали. Проверять нужно то, что я написал выше, причём, достаточно брать не всевозможные открытые множества, а только элементы некоторой базы (в обсуждаемой задаче - интервалы $(a,b)$, причём, можно даже считать, что этот интервал целиком лежит на одном экземпляре $\mathbb R$ и имеет длину не больше $1$.

[JMH]

Someone, прежде всего, большое Вам спасибо за то, что Вы тратите на меня столько времени!

Someone в сообщении #494959 писал(а):

Базу. То есть, шары являются открытыми множествами, и для каждого открытого множества $U\subseteq X$ и каждой точки $x\in U$ существует такое число $\varepsilon>0$, что $B(x,\varepsilon)\subseteq U$. Вот это свойство и надо проверять.

Да, прошу прощения за "базис", это меня английский (на нём и написана книга, по которой я учусь) попутал. Указанному свойству наша метрика, безусловно, удовлетворяет, но меня беспокоит вопрос счётности базы, см. ниже.

Someone в сообщении #494959 писал(а):

Я не совсем понял. Эти полуинтервалы - окрестности наименьшего и наибольшего элементов множества? Тогда это надо уточнить.

В вушеупомянутой книге база порядковой топологии - это всевозможные интервалы вида $(a,b)$, $[a,b)$ и $(a,b]$, необязательно интервалы, влючающие наибольший и/или наименьший элементы. Полагаю, для наших целей это неважно и мы можем спокойно считать, что открыты только интервалы вида $(a,b)$ и их объединения.

Someone в сообщении #494959 писал(а):

Это Вы что-то нехорошее выдумали. Проверять нужно то, что я написал выше, причём, достаточно брать не всевозможные открытые множества, а только элементы некоторой базы (в обсуждаемой задаче - интервалы $(a,b)$, причём, можно даже считать, что этот интервал целиком лежит на одном экземпляре $\mathbb R$ и имеет длину не больше $1$.

Думаю, мы добрались до источника моего непонимания. Итак:
$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\Delta+\delta$[/math];
$ \Delta=\begin{cases} 0,&\text{если $x_1=y_1$}\\ 1,&\text{если $x_1\neq y_1$} \end{cases}$;
$\delta=|x_2-y_2|$
Т.о. шар $B(x,r)$ определяет интервал $\big(<x_1,x_2-r>,<x_1,x_2+r>\big)$ независимо от величины $r$. Если это неверно, то я действительно занимаюсь ерундой, но если верно, то для представления произвольного интервала $\big(<x_1,x_2>,<y_1,y_2>\big)$, где $x_1\neq y_1$ понадобится несчётное число элементов базы, т.к. между $x_1$ и $y_1$ находится континуум экземпляров $\mathbb R$. Тогда как, при определении базы порядковой топологии произвольными интервалами, база будет счётной.

[JMH]

Поправка: замкнутые с одной стороны интервалы допускаются только для наименьшего и наибольшего элементов множества. Я сморозил чушь, но это действительно в данный момент непринципиально.

[Someone]

JMH в сообщении #494969 писал(а):

Указанному свойству наша метрика, безусловно, удовлетворяет, но меня беспокоит вопрос счётности базы, см. ниже.

В обсуждаемом пространстве нет счётной базы, его вес - континуум.

JMH в сообщении #494969 писал(а):

Т.о. шар $B(x,r)$ определяет интервал $\big(<x_1,x_2-r>,<x_1,x_2+r>\big)$ независимо от величины $r$. Если это неверно

Это действительно неверно. Посмотрите определение шара. Покажите, что для Вашей метрики шар является интервалом только при $r\leqslant 1$ (кстати, можно заметить, что в этой метрике замкнутый шар (который определяется с неравенством $\leqslant$ вместо $<$) не всегда является замыканием открытого.