Сумма алгебраических чисел - тоже алгебраическое число

[INGELRII]

Как доказать, что сумма двух алгебраических чисел также является алгебраическим числом? С произведением, обратными и противоположными числами все просто. А с суммой никак не получается.

(Оффтоп)

У меня лично не получается У кого-то, разумеется, это как раз получается

[Sonic86]

Это стандартно, посмотрите в книгах, в Куроше, в любой книге по алгебре.
Пусть $\alpha, \beta \in \mathbb{A}$, пусть $\alpha _i , \beta _j$ - все им сопряженные (или как это называется? в общем все корни минимальных многочленов $f,g$ чисел $\alpha, \beta$). Составим многочлен $F(x) = \prod\limits_{i,j}(x-(\alpha _i + \beta _j))$. $F(x)$ не меняется при любых перестановках корней, а значит выражается через симметрические многочлены от корней, а значит - через элементы основного поля $\mathbb{Q}$.
Тут сумму можно заменить на произведение.

[INGELRII]

О, спасибо! Теперь все ясно.

[Padawan]

А разве это не следует из того, что простое алгебраическое расширение конечно, а конечное расширение является алгебраическим? Получается, два раза подряд выполняя простое алгебраическое расширение $\mathbb Q(\alpha)(\beta)$ получаем алгебраическое расширения. Значит $\alpha+\beta$ -- алгебраическое число, причём является корнем многочлена степени $\leqslant mn$, где $m$ -- степень минимального многочлена для $\alpha$, $n$ -- для $\beta$.

[INGELRII]

Padawan
У меня жуткое предчувствие, что этот многочлен как раз и будет тем, что представил Sonic86. Но да, Ваш способ проще, учитывая, что даже строить многочлен в явном виде не требуется. Ну как-то вот не мог сообразить я. (((

[Хорхе]

Это неправильное предчувствие. Впрочем, в некотором смысле Вы правы: идея, если крепко вдуматься, по сути одна.