Интеграл, зависящий от параметра

[ИСН]

$\int\limits_1^2{1\over x^k}dx$ прекрасно сходится при любых k.

-- Ср, 2011-10-19, 20:35 --

Да, это был намёк.

[Anexroid]

Ах, да. Не сходится на бесконечности...

[ИСН]

А надо ли Вам на бесконечности? А где вообще надо? А будете ли Вы ещё делать утверждения о сходимости несобственных интегралов, не указывая при этом пределы?

[Anexroid]

Мне нужно на промежутке от 0 до $\pi$
И я не могу понять что мне нужно делать

[bot]

Ну вот в порядке намёка изменим пределы интегрирования в прекрасно сходящемся интеграле и спросим при каких k сходится интеграл $\int\limits_0^1{1\over x^k}dx$?

[Anexroid]

При любых?

[ИСН]

А Вы возьмите интеграл-то (он ведь берущийся), да проверьте.

[Anexroid]

$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{x^{1-k}}{1 - k}$ и эта функция сходится при $k > 1$

[bot]

А это ничего, что слева в равенстве - число, а справа - функция? А что означает "функция сходится"?

[Anexroid]

Anexroid в сообщении #515715 писал(а):

$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{x^{1-k}}{1 - k}$ и эта функция сходится при $k > 1$

Упс...
$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{1}{1 - k}$
т.е данный интеграл сходится при $k > 1$

[bot]

Нет.

[Nemiroff]

Anexroid в сообщении #516792 писал(а):

Упс...
$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{1}{1 - k}$
т.е данный интеграл сходится при $k > 1$

Смотрите, если $k=0$, то интеграл вообще берется от константы.

[Anexroid]

Блин, а как тогда? Хотя бы небольшую подсказку дайте

[ИСН]

Небольшую дали уже: при 0 сходится. Теперь попробуйте осторожно посмотреть в ближайшей окрестности 0, только не отходите далеко, а то волки - - -

[Nemiroff]

Anexroid в сообщении #517459 писал(а):

Блин, а как тогда? Хотя бы небольшую подсказку дайте

Ну можно так: попробуйте взять интеграл, в предположении отсутствия особенностей - просто по Ньютону-Лейбницу. Внимательно посмотрите на результат.