Задача на нахождение объема

[3AKPbIBAKA]

Здравствуйте! Задача такая: найти объем фигуры в n-мерном пространстве, ограниченной единичным гиперкубом, точки которой удовлетворяют неравенствам:

$ x_1-d<0$

$ x_2-x_1-d<0$

$ x_3-x_2-d<0$

...

$ x_n-x_{n-1}-d<0$

$ 1-x_n-d<0$

[zhekas]

3AKPbIBAKA в сообщении #494180 писал(а):

Здравствуйте! Задача такая: найти объем фигуры в n-мерном пространстве, ограниченной единичным гиперкубом, точки которой удовлетворяют неравенствам:

$ x_1-d<0$

$ x_2-x_1-d<0$

$ x_3-x_2-d<0$

...

$ x_n-x_{n-1}-d<0$

$ 1-x_n-d<0$

Из первых n неравенств получаем

$ x_1<d

$ x_2<2d$

$ x_3<3d$

...

$ x_n<(n-1)d$


из последних n

$ 1-nd<x_1$

$ 1-(n-1)d<x_2$

$ 1-(n-2)d<x_3$

...

$ 1-2d<x_{n-1}$

$ 1-d<x_n$[/quote]


Итого получаем систему ограничений"


$ 1-nd<x_1<d$

$ 1-(n-1)d<x_2<x_1+d$

$ 1-(n-2)d<x_3<x_2+d$

...

$ 1-2d<x_{n-1}<x_{n-2}+d$

$ 1-d<x_n$<x_{n-1}+d[/quote]

$$V=\int\limits_{1-nd}^d\int\limits_{1-(n-1)d}^{x_1+d}\int\limits_{1-(n-2)d}^{x_n-2+d}\cdots\int\limits_{1-2d}^{x_{n-2}+d}\int\limits_{1-d}^{x_{n-1}+d}\,dx_n\,dx_{n-1}...\,dx_3\,dx_2\,dx_1$$

1)$\int\limits_{1-d}^{x_{n-1}+d}\,dx_n = x_{n-1}+2d-1$
2)$\int\limits_{1-2d}^{x_{n-2}+d}x_{n-1}+2d-1\,dx_n = \frac12(x_{n-1}+2d-1)^2|_{1-2d}^{x_{n-2}+d}=\frac12 (x_{n-2}+3d-1)^2$
3)$\int\limits_{1-3d}^{x_{n-3}+d}\frac12 (x_{n-2}+3d-1)^2\,dx_n = \frac16(x_{n-1}+4d-1)^3$
.......................
n-1)$\int\limits_{1-(n-1)d}^{x_1+d}\frac{1}{(n-2)!} (x_{n-2}+(n-1)d-1)^{(n-2)}\,dx_n = \frac{1}{(n-1)!}(x_1+nd-1)^{(n-1)}$
n)$\int\limits_{1-nd}^{d}\frac{1}{(n-1)!} (x_{n-2}+nd-1)^{(n-1)}\,dx_n = \frac{1}{n!}((n+1)d-1)^n$

[3AKPbIBAKA]

Спасибо! :)