exponential equation.

[man111]

find all positive integer values of $x$ in

$\displaystyle \frac{7x-12}{2^x}+\frac{2x-12}{3^x}+\frac{24x}{6^x}=1$

[MrDindows]

Delirium was here

[svv]

Цитата:

and the left is not

Ой

[MrDindows]

svv в сообщении #494305 писал(а):

Цитата:

and the left is not

Ой

Ой-ой-ой. Дурная моя голова(

[man111]

Sorry friends .

Now i have edit my question.(Typo error)

-- Wed Oct 19, 2011 23:29:40 --

man111 в сообщении #494288 писал(а):

find all positive integer values of $x$ in

$\displaystyle \frac{7x-12}{2^x}+\frac{2x-14}{3^x}+\frac{24x}{6^x}=1$

[MrDindows]

гг, а ведь знал, что в условии что-то неладно=)
Но я исправлюсь:

$3^x(7x-12)+2^x(2x-14)+24x=6^x$
$3^x(7x-12)=6^x-2^x(2x-14)-24x$
If $x>1$, the right part is divisible by $4$, so the left part and $x$ must be divisible too.
If $x=4$ we have equality.
If $x \ge 8$ :
$3^x(7x-12)+2^x(2x-14)+24x< 3^x\cdot 7x+3^x \cdot 2x+3^x=3^x(9x+1)<6^x$

Теперь вроде всё верно?)

[svv]

Последняя цепочка неравенств справедлива уже при $x\geqslant 5$, верно?

[MrDindows]

svv в сообщении #494317 писал(а):

Последняя цепочка неравенств справедлива уже при $x\geqslant 5$, верно?

Нет, ведь $3^5(9\cdot5+1)=11178>7776=6^5$.
Так как икс делится на 4, можно сразу брать восьмёрку, а там уже неравенства очевидны.

[svv]

А, точно.
Я $3^x(9x+1)$ и $6^x$ сократил на $3^x$ и отчего-то решил, что $9\cdot 5+1<2^5$.