Дисперсионка. Пружинки.

[r0ma]

Здравствуйте. Поправьте меня если я не прав. Задача такая. Сейчас изображу:

О//\\//\\О/\/\О//\\...//\\О/\/\O//\\//\\O

Поясняю. О - это шарики с одинаковой массой $m$. /\/\ $-$ пружина с жёсткостью $\varkappa_2$, //\\ $-$ пружина с жёсткостью $\varkappa_1$. Расстояние между шариками (если хотите, период этой системы) равно $a$ (везде одинаково). Задача получить дисперсионку (стоит оговорить ещё одно условие: \varkappa_1\gg\varkappa_2, но сейчас это совершенно не существенно).

Рассмотрим n-ый шарик (в середине; слева от него (n-1)-ый, соответственно справа - (n+1)-ый):

...О//\\//\\О/\/\О...

Составил разностное уравнение. Даже вроде правильно:

$$md^2_tx_n=-\varkappa_1\left(x_n-x_{n-1}\right)+\varkappa_2\left(x_{n+1}-x_n\right).$$

Дальше моё рассуждение такое, что раз у нас есть две пружины с разными каппа, то, как мне кажется, логично ожидать что в системе возникнуть две волны: одна, допустим, с волновым числом $k_1$, а вторая с $k_2$. Т.е. я ищу решение в следующем виде:

$$x_n=Ae^{ik_1na}+Be^{ik_2na}.$$

Верно ли это?

P.S.: помимо этого, я полагаю временную зависимость $e^{-i\omega t}$, что не столь важно. Т.е. $d^2_t \rightarrow -\omega^2$. Да, и о гранусловиях я сейчас не задумываюсь. Сделаю их потом, допустим, циклическими (что-то вроде Борна-Кармана). Они как-то дискретизируют, конечно, волновые числа, но не это мне сейчас важно.

[r0ma]

Прикрепляю нормальную (более-менее) картинку (жёсткости пружин чередуются):

[Андрей123]

Решение надо искать в виде: $\sum_i A_i e^{i \lambda_i}$, где $\lambda_i$ собственные числа матрицы системы.

[Alex-Yu]

r0ma в сообщении #494139 писал(а):

Поясняю. О - это шарики с одинаковой массой . /\/\ пружина с жёсткостью , //\\ пружина с жёсткостью . Расстояние между шариками (если хотите, период этой системы) равно (везде одинаково). Задача получить дисперсионку (стоит оговорить ещё одно условие: , но сейчас это совершенно не существенно).

Это совершенно стандартная задача из физики твердого тела: динамика решетки при двух "атомах" в примитивной ячейке. Напишите решение в виде функции Блоха и дальше все получится. Т.е. пишите

$x_n=u_ne^{ikn}$

где

$u_{n+2}=u_n$

В результате получите уравнение ДВУХ связанных осцилляторов (два же атома в примитивной ячейке). Ну а дальше остается лишь диагонализовать матрицу 2х2. Два собственных числа этой матрицы дадут две дисперсионные ветви (акустическую и оптическую как это в ФТТ называется).

Тут, кстати, возникает естественный вопрос: а как догадаться, что решение надо записывать именно в таком виде? В принципе ответ дает теория групп. Но суть простая: в нормальной моде колебание атома "через один" может отличаться только фазовым множителем. Просто по симметрии: при трансляции на ДВА шарика решетка переходит сама в себя.

[Oleg Zubelevich]

r0ma в сообщении #494139 писал(а):

вильно:

$$md^2_tx_n=-\varkappa_1\left(x_n-x_{n-1}\right)+\varkappa_2\left(x_{n+1}-x_n\right).$$

Положим $y=\sum_{k\in\mathbb{Z}}x_ke^{ik\psi}$ где $\psi$ -- формальный параметр.
Тогда
$m\ddot y=-\varkappa_1(y-e^{i\psi}y)+\varkappa_2(e^{-i\psi}y-y)$.

[r0ma]

Alex-Yu в сообщении #494697 писал(а):

Это совершенно стандартная задача из физики твердого тела: динамика решетки при двух "атомах" в примитивной ячейке. Напишите решение в виде функции Блоха и дальше все получится. Т.е. пишите

$x_n=u_ne^{ikn}$

где

$u_{n+2}=u_n$

В результате получите уравнение ДВУХ связанных осцилляторов (два же атома в примитивной ячейке). Ну а дальше остается лишь диагонализовать матрицу 2х2. Два собственных числа этой матрицы дадут две дисперсионные ветви (акустическую и оптическую как это в ФТТ называется).

Тут, кстати, возникает естественный вопрос: а как догадаться, что решение надо записывать именно в таком виде? В принципе ответ дает теория групп. Но суть простая: в нормальной моде колебание атома "через один" может отличаться только фазовым множителем. Просто по симметрии: при трансляции на ДВА шарика решетка переходит сама в себя.

Ага. Я как раз и рассматриваю модель нормальных колебаний в кристаллической решётке с 2-мя атомами в элементарной ячейке. Я уже решил. Вчера. Хотел сегодня известить в этой теме, если кому было интересно, как я делал в 2х словах. На самом деле, как Вы сказали, так я и делал По поводу ожидаемого вида решения спасибо за объяснение! Я понял.

Андрей, Oleg, Вам также спасибо за помощь!