Теория вероятностей. Несколько коротких вопросов.

[nikolai4]

Задача 1 В урне 4 красных шара и 6 белых шара. наудачу отбираются 7 шаров. найти вероятность того, что среди них ровно три красных шара.

Правильно ли, что искомая вероятность $p=\dfrac{C_{4}^{3}\cdot C_{6}^{4}}{C_{10}^{7}}$

Задача 2
в урне 4 красных и 6 белых шара. сначала из урны на удачу выбрасывается один ар. Затем из оставшихся выбираются наудачу два шара найти вероятность того, что эти последние два шара белые.

$A_i$ - $i$ый шар - белый

$B_i$ - $i$ый шар - красный

Правильно ли, что искомая вероятность $P(A_2A_3)=P(A_2A_3|A_1)P(A_1)+P(A_2A_3|B_1)P(B_1)=\dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{4}{8}\cdot \dfrac{6}{10}+\dfrac{5}{10}\cdot \dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{4}{10}$

Задача 3
Испорченный бумеранг возвращаться с вероятностью $P=0,0003$. $n=20 000$ туземцев независимо друг от друга пытаются выбросить свои испорч бумеранги. оценить вероятность того, что удача будет сопутствовать ровно $k=9997$ туземца.

Правильно ли я мыслю про закон Пуассона.

$a=pn=0,0003\cdot 20 000=6$

$p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}$

$\lambda=a=6$ ; $k=9997$

$p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=9997) = \frac{6^{9997}}{(9997)!}\, e^{-6}$

Как же считать такую здоровую штуку?))

Задача 4. Совместное распределение случайной величины Х,принимающей значения из множества $X=a_1=-5$; $X=a_2=5$,
и $Y$, принимающей значения из множества $Y=b_1=-1$ и $Y=b_2=7$ ,задается таблицей.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Y\diagdown X& a_1 & a_2 \\ \hline b_1&1/8&1/8\\ \hline b_2&5/8&1/8\\ \hline \end{array}$$

найти распределение случайных величин Х и У. проверит, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Найти функцию распределения случайной величины У.

Комментарий-попытка

(Оффтоп)

сумма вероятностей не равна 1. $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}\ne 1$
Есть предположение, что это связано с тем, что случайные величины $X$ и $Y$ - зависимы. Но как найти их функции распределения, ведь для этого нужны вероятности $P(X=5)$ итп.. Как их найти?

[gris]

1. Правильно
2. Если первый красный, то осталось 6 белых.
3. Удача — если бумеранг не вернулся? А там не 19997?
4. Сумма таки равна 1.

[nikolai4]

gris в сообщении #494130 писал(а):

1. Правильно
2. Если первый красный, то осталось 6 белых.
3. Удача — если бумеранг не вернулся? А там не 19997?
4. Сумма таки равна 1.

Спасибо! Тогда во второй будет так?

Задача 2
в урне 4 красных и 6 белых шара. сначала из урны на удачу выбрасывается один ар. Затем из оставшихся выбираются наудачу два шара найти вероятность того, что эти последние два шара белые.

$A_i$ - $i$ый шар - белый

$B_i$ - $i$ый шар - красный

Правильно ли, что искомая вероятность $P(A_2A_3)=P(A_2A_3|A_1)P(A_1)+P(A_2A_3|B_1)P(B_1)=\dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{4}{8}\cdot \dfrac{6}{10}+\dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{4}{10}$

Задача 3 Может опечатка в условии. А если не $19997$, то цифры будут плохие? Я предполагаю, что удача это когда он вернулся. Но можно в ответ написать и ту, и ту вероятность, все равно в сумме они 1!

Можно так сделать?

Испорченный бумеранг возвращаться с вероятностью $P=0,0003$. $n=20 000$ туземцев независимо друг от друга пытаются выбросить свои испорч бумеранги. оценить вероятность того, что удача будет сопутствовать ровно $k=19997$ туземца.

Правильно ли я мыслю про закон Пуассона.

$a=pn=0,0003\cdot 20 000=6$

$p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=n-k) = \frac{\lambda^(n-k)}{(n-k)!}\, e^{-\lambda}$

$\lambda=a=6$ ; $n-k=3$

$p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=3) = \frac{6^3}{(3!}\, e^{-6}$=36\cdot e^{-6}

$P(Y=19997)=1-P(Y=3)=1-36\cdot e^{-6}$

Задача 4 А с чего начать тогда делать? Из-за того, что сумма вероятностей равна 1 => величины независимые? Так?

-- 19.10.2011, 18:49 --

[gris]

2. Правильно.
3. Наверняка 19997, тогда $k=3$. Ну а если 9997, то вероятность практически равна 0. *** Да, у Вас правильно получилось.
4. Найдите распределение каждой величины (складывайте по строкам и столбцам) и проверьте условие независимости. Сумма вероятностей всегда равна 1, а вот независимость в том, что вероятность ... равна произведению вероятностей.... Посмотрите определения. Если не выполняется даже для одной комбинации, то величины зависимы.

[nikolai4]

Спасибо, ясно! То есть. Если я правильно понял, то так:

По столбцам:

$P(X=a_1)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{4}$

$P(X=a_2)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$

$P(X=a_1)+P(X=a_2)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$

-----------------------------------------------------

По строкам

$P(X=b_1)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$

$P(X=b_2)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{4}$

$P(X=b_1)+P(X=b_2)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$

----------

Суммы по строкам и столбцам равны $1$, значит случ величины $X$ и $Y$ - независимы! Так?)

[gris]

Суммы и должны равняться 1. По строкам будет всё же $Y$.
Независимость же вот в чём: два события называются независимыми, если $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$. То же и тут.
Какова была бы вероятность $P(X=a_1, Y=b_1)$, если бы случайные величины были бы независимы? Она бы равнялась $P(X=a_1)\cdot P(Y=b_1)$. Это выполняется?

[nikolai4]

Спасибо, gris!

По таблице:

$P(X=a_1,Y=b_1) =1/8$

$P(X=a_1)\cdot P(Y=b_1)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}$

Тк Вероятности не совпали $\dfrac{1}{8}\ne \dfrac{3}{8}$ => величины зависимые! Так?

P.S. Как строить функции распределения $F(x)$ и $F(y)$ -- уже понял..