Неограниченность последовательности

[Dosaev]

Дана последовательность: ${n^{(-1)^{n}}}$. Доказать ее неограниченность.

В общем в учебнике нашел метод, не знаю подходит ли он здесь. Заменить $n = 2k.$ (Причем на k никаких ограничений нет, не знаете почему). Получим $x_{2k} = 2k.$ Это последовательность очевидно неограничена.
Правильно?

[JMH]

Вполне пойдёт. Хотя можно выразиться и проще: для любого $N$ найдётся $n$, такой, что $x_n>N$.

[Dosaev]

Спасибо!!

Dosaev в сообщении #493623 писал(а):

Заменить $n = 2k.$ (Причем на k никаких ограничений нет, не знаете почему?).

[arseniiv]

$\begin{array}{l} a_1 = 1^{(-1)^1} = 1 \\ a_2 = 2^{(-1)^2} = 2 \\ a_3 = 3^{(-1)^3} = \frac13 \\ a_4 = 4^{(-1)^4} = 4 \\ a_5 = 5^{(-1)^5} = \frac15 \\ a_6 = 6^{(-1)^6} = 6 \\ \cdots \end{array}$

Действительно, здесь можно заметить неограниченную подпоследовательность чётных членов [собственно, потому у вас $k = 2n$]. И, значит, последовательность тоже не ограничена. Но в общем случае неограниченная подпоследовательность может состоять из членов с какими угодно номерами! Тогда лучше всего ничего не выдумывать, а делать прямо так, как сказал JMH.

-- Вт окт 18, 2011 00:54:32 --

(А можно взять $k = 4n$, например. И даже $k = 1000n$. Тоже сработает в этом случае.)