Преобразования координат

[Mega Sirius12]

Вот придумал задачу
Пусть имеется декартова система координат, теперь построим новую систему координат, оси которой будут наклонены под некоторым углом к изначальным осям(ось абцисс повернется простив часовой стрелки на некоторые угол-а ось ординат-по часовой стрелке на некоторый точно такой же угол)
Масштаб по осят остается тем же
Найти такую фигуру в плоскости, которая является инвариантом при переходах в вышезаданную косоугольную систему координат
Или же доказать, что такой фигуры нет

[arseniiv]

Точки на прямой $y = x$ и вся эта прямая чем не устроили? А вообще, пишем матрицу преобразования (оно аффинное) и решаем что-то.

В общем, (лично я) не вижу олимпиадности или что-то проглядел.

(Оффтоп)

Просто обычно arseniiv олимпиадные задачи dxdy не осиливает. А тут эвон как…

(Кстати, если вы намеренно перепутали раздел, я там немного не дорешал. )

[Mega Sirius12]

точняк! извиняюсь-фигура должна быть ограниченной-а не простираться в бесконечность

[bot]

arseniiv в сообщении #493243 писал(а):

Точки на прямой и вся эта прямая чем не устроили?

Вообще-то точки на прямой (и сама прямая) при повороте останутся на прямой, но на другой, что никак у меня не связывается с инвариантностью.
При заданном угле поворота инвариантных фигур (а что такое фигура?) "не простирающихся в бесконечность" можно строить сколько угодно - достаточно взять любую фигуру и замкнуть относительно операции поворота. Окружности - простейший пример инварианта при любых поворотах.

[arseniiv]

Так там же не поворот:

Mega Sirius12 в сообщении #493235 писал(а):

Пусть имеется декартова система координат, теперь построим новую систему координат, оси которой будут наклонены под некоторым углом к изначальным осям(ось абцисс повернется простив часовой стрелки на некоторые угол-а ось ординат-по часовой стрелке на некоторый точно такой же угол)
Масштаб по осят остается тем же [выделение моё]

Там $\left[\begin{matrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{matrix}\right]$. Орты поворачиваются в разные стороны!

-- Пн окт 17, 2011 18:39:29 --

Mega Sirius12 в сообщении #493266 писал(а):

фигура должна быть ограниченной

Из того моего сообщения вы можете найти и примеры ограниченных фигур.

[bot]

Упс - не заметил. Ну дык, один чёрт инвариантных ограниченных фигур будет сколько, сколько захотим - опять берём произвольную ограниченную фигуру и замыкаем относительно этого преобразования. Поскольку модуль определителя не превосходит 1, то замыкание останется ограниченным.

[bot]

Нет, определителем не обойдёшься - надо найти собственные направления и собственные числа, то есть к диагональному виду привести надо.

Получится $\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt2}\\ \frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\alpha+\sin\alpha&0\\ 0&\cos\alpha-\sin\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\\ -\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}$

Собственные числа не могут оказаться одновременно меньше 1 по модулю. Поэтому и в самом деле любая точка, отличная от начала координат поползёт в бесконечность при многократном действии этой матрицы. Остаются тривиальные случаи $\alpha=\frac\pi 2k, k=0,1,2,3$, в которых ограниченные инвариантные множества есть.