Метод последовательной верхней релаксации решения СЛАУ

[Elena_Torgashova]

Подскажите, пожалуйста, можно ли решить методом ПВР СЛАУ с плохо обусловленной матрицей?

[ewert]

Конечно. Просто он будет очень-очень-очень медленно сходиться.

[Elena_Torgashova]

Спасибо большое! Так скорость сходимости метода мы определяем параметром релаксации?

[ewert]

Я не помню деталей. Во всяком случае, в методе простых итераций (для положительных матриц) знаменатель геометрической прогрессии отличается от единицы на число, обратно пропорциональное числу обусловленности; это очень простой факт. А в методе релаксации на гораздо большую величину -- кажется, на более-менее единицу на корень из числа обусловленности. Параметр релаксации при этом очень уж принципиальной роли не играет -- от него зависит лишь масштабный множитель перед этой поправкой (т.е., играя этим параметром, мы ускоряем или замедляем сходимость лишь в несколько раз). И, если не ошибаюсь, даже в предельном случае $\omega=1$ (т.е. в методе Зайделя) порядок скорости сходимости остаётся тем же.

[Kallikanzarid]

Elena_Torgashova
Я где-то читал, что для эллиптических матриц была доказана сходимость при параметре релаксации, меньшем двух, но это было давно

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #493036 писал(а):

Я где-то читал, что для эллиптических матриц была доказана сходимость при параметре релаксации, меньшем

Доказана, причём доказательство не слишком сложное (хотя и неочевидное). А вот явных оценок скорости сходимости, кажется, нет. Есть лишь некий эмпирический факт -- что метод верхней релаксации (когда параметр больше единицы) сходится быстрее метода нижней релаксации (когда он меньше единицы).