Классическая механика. Лагранжев формализм

[Imaginarium]

Здравствуйте.
Прошу совета в вопросах составления уравнений Лагранжа для простых систем.К изучению классической механики я только приступил, и в основном это самообразование, так что прошу снисхождения). В данный момент, помимо самого уравнения Лагранжа мне надо вывести закон сохранения энергии из него.

Итак, я рассматриваю систему из падающего в пустоте под действием силы тяжести "молотка" состоящего, для простоты, из одного центра массы.

Я так понимаю, что функция Лагранжа имеет вид:

$L(h,\dot{h},t)= \frac m 2\dot{h}^2 -mgh$
где $h=h(t)$-высота

теперь я хочу показать, что полная механическая энергия системы неизменна:

$\frac d {dt} L(h,\dot{h},t)= \frac m 2 2 \dot{h(t)}\ddot{h(t)}-mg\dot{h(t)} = m\dot{h(t)}\left(\ddot{h(t)}-g\right)$

приравнивая получившееся выражение к нулю, получим, что выражение
$\left(\ddot{h(t)}-g\right)=0$
а производная равна нулю только от константы- т.е., выражение в скобках как-то характеризует полную энергию?

Полагаю, что рассуждение неверное в конце, но не знаю, как получить нужное...

Спасибо.

[vvb]

Imaginarium в сообщении #492664 писал(а):

теперь я хочу показать, что полная механическая энергия системы неизменна:

$\frac d {dt} L(h,\dot{h},t)= \frac m 2 2 \dot{h(t)}\ddot{h(t)}-mg\dot{h(t)} = m\dot{h(t)}\left(\ddot{h(t)}-g\right)$

приравнивая получившееся выражение к нулю

А зачем Вам приравнивать нулю производную функции Лагранжа?
Функция Лагранжа как раз не постоянна. В верхней точке она отрицательная, в нижней ($h = 0$) - положительная.

[Парджеттер]

Imaginarium в сообщении #492664 писал(а):

теперь я хочу показать, что полная механическая энергия системы неизменна:

$\frac d {dt} L(h,\dot{h},t)= \frac m 2 2 \dot{h(t)}\ddot{h(t)}-mg\dot{h(t)} = m\dot{h(t)}\left(\ddot{h(t)}-g\right)$

приравнивая получившееся выражение к нулю

Но ведь функция Лагранжа (лагранжиан) не характеризует никак полную энергию системы, т.к. она равна разности кинетической и потенциальной энергии $L=T-U$. Полную энергию системы описывает функция Гамильтона (гамильтониан) $H=E=T+U$. А через лагранжиан есть другое выражение

$$E = \dot x \frac{\partial L}{\partial \dot x} - L$$

Поэтому сохранение энергии требует $dE/dt = 0$, а не $dL/dt = 0$.

[Alex-Yu]

Imaginarium в сообщении #492664 писал(а):

теперь я хочу показать, что полная механическая энергия системы неизменна:

Закон сохранения энергии выполняется только НА УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ. А вы их не использовали.