2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Классическая механика. Лагранжев формализм
Сообщение15.10.2011, 02:51 
Аватара пользователя


12/06/11
102
СПб
Здравствуйте.
Прошу совета в вопросах составления уравнений Лагранжа для простых систем.К изучению классической механики я только приступил, и в основном это самообразование, так что прошу снисхождения). В данный момент, помимо самого уравнения Лагранжа мне надо вывести закон сохранения энергии из него.

Итак, я рассматриваю систему из падающего в пустоте под действием силы тяжести "молотка" состоящего, для простоты, из одного центра массы.

Я так понимаю, что функция Лагранжа имеет вид:

$L(h,\dot{h},t)= \frac m 2\dot{h}^2 -mgh$
где $h=h(t)$-высота

теперь я хочу показать, что полная механическая энергия системы неизменна:

$\frac d {dt} L(h,\dot{h},t)= \frac m 2 2 \dot{h(t)}\ddot{h(t)}-mg\dot{h(t)} = m\dot{h(t)}\left(\ddot{h(t)}-g\right)$

приравнивая получившееся выражение к нулю, получим, что выражение
$\left(\ddot{h(t)}-g\right)=0$
а производная равна нулю только от константы- т.е., выражение в скобках как-то характеризует полную энергию?

Полагаю, что рассуждение неверное в конце, но не знаю, как получить нужное...

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика. Лагранжев формализм
Сообщение15.10.2011, 06:54 


25/08/08
545
Imaginarium в сообщении #492664 писал(а):
теперь я хочу показать, что полная механическая энергия системы неизменна:

$\frac d {dt} L(h,\dot{h},t)= \frac m 2 2 \dot{h(t)}\ddot{h(t)}-mg\dot{h(t)} = m\dot{h(t)}\left(\ddot{h(t)}-g\right)$

приравнивая получившееся выражение к нулю

А зачем Вам приравнивать нулю производную функции Лагранжа?
Функция Лагранжа как раз не постоянна. В верхней точке она отрицательная, в нижней ($h = 0$) - положительная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика. Лагранжев формализм
Сообщение15.10.2011, 13:11 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Imaginarium в сообщении #492664 писал(а):
теперь я хочу показать, что полная механическая энергия системы неизменна:

$\frac d {dt} L(h,\dot{h},t)= \frac m 2 2 \dot{h(t)}\ddot{h(t)}-mg\dot{h(t)} = m\dot{h(t)}\left(\ddot{h(t)}-g\right)$

приравнивая получившееся выражение к нулю
Но ведь функция Лагранжа (лагранжиан) не характеризует никак полную энергию системы, т.к. она равна разности кинетической и потенциальной энергии $L=T-U$. Полную энергию системы описывает функция Гамильтона (гамильтониан) $H=E=T+U$. А через лагранжиан есть другое выражение$$E = \dot x \frac{\partial L}{\partial \dot x} - L$$Поэтому сохранение энергии требует $dE/dt = 0$, а не $dL/dt = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика. Лагранжев формализм
Сообщение15.10.2011, 20:48 
Заслуженный участник


21/08/10
2580
Imaginarium в сообщении #492664 писал(а):
теперь я хочу показать, что полная механическая энергия системы неизменна:


Закон сохранения энергии выполняется только НА УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ. А вы их не использовали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group