SL2(R) и первые интегралы

[Leox]

А указанное опеределение векторных полей является общеизвесным? Обобщается ли оно на большее число фазовых переменных и какой тогда будет физический смысл

[scwec]

Leox, пока я отвечал на предыдущий Ваш вопрос, Вы его, видимо, стерли. Но ответ все равно к месту. Отступив назад, Вы можете его прочитать.
По поводу применяемых определений векторных полей, то они общеупотребительны в любых размерностях. Физический смысл - движение $n$ точек по прямой, в плоскости, в пространстве под действием потенциальных или непотенциальных сил.

[Leox]

Цитата:

Если Вы укажете функцию$V(q_1,q_2,p_1,p_2)$ для которой $X_1(V)=0$ без всяких условий на $F_1,F_2$, которые у Вас в ответе присутствуют, то задача решена. Пока этого нет.

Обычно здесь спрашивают не зная ответа :)
Можете написать ответ не описывая метода решения?

-- Вс окт 09, 2011 19:31:18 --

scwec в сообщении #491034 писал(а):

Физический смысл - движение $n$ точек по прямой, в плоскости, в пространстве под действием потенциальных или непотенциальных сил.

Вопрос не совсем в тему. Предположим мы введем дополнительную пару переменных $g_1, q_2$ и дополним систему из первого поста такими двумя уравнениями $\dot g_i=q_i.$ Есть ли какой-нибудь физический смысл такой задачи?

[scwec]

В области линейной независимости $X_1,X_2,X_3$
$V=\frac{1}{2}({q_2}{p_1}-{q_1}{p_2})^2-\int{q_2}^2({q_2}{F_1}-{q_1}{F_2})d(\frac{q_1}{q_2})$

[Leox]

Интересная формула. Множитель $1/2$ и квадрат в первом слагаемом можно убрать?

[scwec]

Зачем портить $V$?
Замечу, что аналогичным методом, о котором, кроме использования $sl_2(R)$, ничего пока не сказано, можно получить первый интеграл для размерности $3$ в предположении, что $F_i$ ($i=1,2,3$) зависят от разностей координат. В этом случае рассматривается $sl_2(R)+g^2$, где $g^2$-двумерная коммутативная алгебра Ли.
Если силовое поле потенциально, то можно найти первый интеграл в любых размерностях.

[Leox]

Работает ли ваш метод для большего числа переменных, тоесть можете ли вы виписать ядро $\operatorname{ker} D$ следующего дифференцирования

$$ D=\sum_{i=1}^n \left( F_i \frac{\partial}{p_i}+p_i \frac{\partial}{q_i} \right), $$

где $F_i$ однородные функции степени -3 от $p_i,q_i?$

[scwec]

Ответ на Ваш вопрос- нет. Читайте мое предыдущее сообщение. Там перечислено, что может делать метод.

[scwec]

Выше были определены векторные поля, порождающие $sl_2(R)$
Первый интеграл $V$, общий для $X_1,X_2,X_2$ получается следующим образом. В силу того, что $X_2,X_3$ порождают подалгебру Ли в ${sl_2}(R)$, у этих полей должно быть два общих первых интеграла.
Это $u=\frac{q_1}{q_2}$, $w={q_2}{p_1}-{q_1}{p_2}$. Очевидно, что общий первый интеграл для $X_1,X_2,X_3$ имеет вид $V=V(u,w)$. Поскольку ${X_1}(V)=0$, то $\frac{{\partial}V}{{\partial}u}{X_1}(u)+\frac{{\partial}V}{{\partial}w}{X_1}(w)=0\qquad(1)$.
Но ${X_1}(w)={q_2}{F_1}-{q_1}{F_2}$, ${X_1}(u)=\frac{{q_2}{p_1}-{q_1}{p_2}}{{q_2}^2}=\frac{w}{{q_2}^2}$ и $(1)$ перепишется так: $\frac{{\partial}V}{{\partial}u}w+\frac{{\partial}V}{{\partial}w}({q_2}^3{F_1}-{q_1}{q_2}^2{F_2})=0\qquad(2)$.
${q_2}^3{F_1}-{q_1}{q_2}^2{F_2}$ - однородна по $q_1,q_2$ степени $0$, поэтому ${q_2}^3{F_1}-{q_1}{q_2}^2{F_2}=\varphi(u)$.
$(2)$ запишется так: $\frac{{\partial}V}{{\partial}u}w+\frac{{\partial}V}{{\partial}w}\varphi(u)=0$.
Откуда $V={\frac{1}{2}}w^2-\int\varphi(u)du={\frac{1}{2}}({q_2}{p_1}-{q_1}{p_2})^2-\int({q_2}^3{F_1}-{q_1}{q_2}^2{F_2})d(\frac{q_1}{q_2})$.
Область определения $V$ - область линейной независимости $X_1,X_2,X_3$. Поля $X_1,X_2,X_3$ линейно зависимы в области ${q_1}{p_2}-{q_2}{p_1}=0$, ${q_1}{F_2}-{q_2}{F_1}=0$.
Обобщения на многомерный случай возможны при потенциальных силовых полях, т.е. когда $X_1$ гамильтоново и используют отображение момента и киллингову форму на $sl_2(R)$

[scwec]

Чуть изменим исходные уравнения. $\dot{q_i}=p_i$, $\dot{p_i}={F_i}(q_1,q_2)+q_i$
${F_i}$ по прежнему однородные степени $-3$ по $q_1,q_2$, $i=1,2$.
Вопрос.Как теперь выглядит первый интеграл $V$?

[scwec]

Первый интеграл $V$ не изменится.

[scwec]

Рассмотрим движение $n$ точек под действием потенциала, однородного по координатам точек, степени $-2$. Пусть $H=T+U$, $T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{\frac{{p_i}^2}{mi}}\mbox$,
$\sum_{i=1}^n{q_i}\frac{\partial{u}}{\partial{q_i}}=-2U$, $JdH$ - гамильтоново поле движения точек, и $q_i$ -координаты точек, $p_i$ - импульсы, $m_i$ - массы точек, $J$ - симплектическая единица.
Определим функции $F_2=\sum_{i=1}^n{p_i}{q_i}$, $F_3=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{m_i}{{q_i}^2}$.
Скобки Пуассона $(H,F_2)=2H$ , $(F_2,F_3)=2F_3$ , $(F_3,H)=F_2$. Функции $H,F_2,F_3$ порождают линейное пространство над $R$, а скобка Пуассона превращает это пространство в алгебру Ли, изоморфную $sl_2(R)$. Отсюда можно получить первый интеграл для $JdH$. Наличие этого интеграла связано с существованием на полупростых алгебрах Ли невырожденной формы Киллинга.
Минуя описание общей конструкции, приводящей к первому интегралу, выписываю его.
$F={F_2}^2+4HF_3$. Вычислительная проверка подтверждает, что это первый интеграл для $JdH$.
Если $n=2$, то уравнения движения полностью интегрируются, поскольку имеются два интеграла в инволюции - $H$ и $F$.
Вопрос для заинтересованных: примените вышеприведенные рассуждения для $n=3,4$ в случае, когда потенциальная функция зависит от разности координат и однородна степени $-2$ по разности координат.
Примечание: вообще, потенциал $-2$ - предмет рассмотрений, начиная с Якоби и кончая многочисленными именитыми современными авторами. Однако, задача о движении 4 точек по прямой до сих пор не имеет решения.

[scwec]

Продолжение предыдущего сообщения. В случае, когда потенциальная функция зависит от разности координат, появляются еще два первых интеграла.
Введем две функции. $F_4=\sum_{i=1}^n{p_i}$, $F_5=-\sum_{i=1}^n{m_i}{q_i}$. Скобки Пуассона $(F_4,F_5)=-M$- сумарная масса точек, $(H,F_4)=0$, $(F_2,F_4)=-F_4$, $(F_3,F_4)=-F_5$,
$(H,F_5)=-F_4$, $(F_2,F_5)=F_5$, $(F_3,F_5)=0$.
Таким образом, поля $JdH,JdF_2,JdF_3,JdF_4,JdF_5$ порождают алгебру Ли ${g^5}\simeq{sl_2(R)}+g^2$(разложение Леви), где $g^2$ коммутативный радикал в $g^5$.
Очевидный первый интеграл для $JdH$ - это сохранение импульса $F_4$.
А вот еще один первый интеграл совсем не очевиден и следует из указанного разложения Леви:
$\varPhi=H({F_5}^2+2MF_3)+\frac{M}{2}{F_2}^2+{F_2}{F_4}{F_5}-{F_4}^2{F_3}$, где $M=\sum_{i=1}^n{m_i}$ - суммарная масса точек.
В итоге для $JdH$ мы имеем четыре первых интеграла: $H,F,F_4,\varPhi$.
Причем массы точек произвольны, $U$ - произвольная гладкая функция степени $-2$.
$H,\varPhi,F_4$ - находятся в инволюции. Поэтому в области независимости их $JdH$ интегрируется по Лиувиллю при $n=3$.
При $n=4$ интеграция сложнее, поскольку $(F,F_4)\ne{0}$.
Задача. Найдите частные первые интегралы при $n=4$, используя имеющиеся четыре общих.
Примечание: для произвольного $n$ задача проинтегрирована, например, в случае равенства масс и специально выбираемых $U$. Задача Калоджеро и другие.