Нормальное распределение со случайным средним

[_hum_]

Дело в том, что это "решение" совершенно необоснованно, и обосновать его без обращения к условным вероятностным пространствам, как мне видится, не представляется возможным. Потому совпадение с ответом ничуть не говорит в его пользу. Во-вторых, здесь, как я понял, учебный форум, а потому такие "махинации" могут создать у обучающегося ложное представление о способе решения подобных задач - "замени параметр мат. модели случайной величиной и получи, что надо".

[Евгений Машеров]

Умение использовать специфические свойства задачи - довольно полезный навык для приложения матметодов. И его нужно тоже нарабатывать.
А вот где Вы здесь видите "махинации" - не разъясните ли подробнее?

[Henrylee]

1. Сумма гауссовских не всегда гауссовская.
2. Независимость не предполагалась. Ее еще нужно обосновать. Что, впрояем несложно, но совершенно не нужно, ибо..
3. _hum_ все сказал

[Евгений Машеров]

Подробнее, пожалуйста. Про

Цитата:

1. Сумма гауссовских не всегда гауссовская.

И про

Цитата:

2. Независимость не предполагалась. Ее еще нужно обосновать. Что, впрояем несложно, но совершенно не нужно, ибо..

тоже попросил бы...

[--mS--]

Henrylee в сообщении #492282 писал(а):

Не прозвучало слово "независимость". И вообще идеологически я за подход _hum_

Где не прозвучало - в условии задачи? И не должно было прозвучать, независимость $a$ и $Y=X-a$ уже заложена в условии задачи: при любом фиксированном значении $a$ распределение величины $Y$ (стандартное нормальное) от $a$ никак не зависит. А значит, случайные величины $a$ и $Y=X-a$ независимы.

Идеологически - да, конечно, следует уметь владеть формулой полной вероятности. Однако же в конкретной этой задаче подход Вашего оппонента весьма изящен и приводит к ответу мгновенно. В отличие от.

_hum_ в сообщении #492419 писал(а):

мат. модель исходной задачи

discobot в сообщении #491750 писал(а):

$x$ нормально распределено с матожиданием $a$ и дисперсией $1$, $a$ в свою очередь нормально распределено с матожиданием $0$ и дисперсией $\sigma^2$

можно построить, просто заменив вырожденную с.в. $a$ случайной величиной $\alpha \sim N(0,\sigma^2)$, то, простите, это смахивает на жульничество. Причем очень вредное с методологической точки зрения.

Присоединяюсь к просьбе пояснить, где же тут жульничество. Поскольку именно так и выглядит мат. модель. Был числовой параметр распределения, теперь он "стал" случайной величиной. Байесовский подход называется. Нет?

[Евгений Машеров]

Если в задаче подразумевается зависимость, то надо что-то о зависимости сказать. Даже в простейшем случае линейной зависимости - надо. Хотя бы коэффициент корреляции. А то ведь если наши случайные величины имеют корреляцию r=-1, то их сумма имеет распределение $N(0,|\sigma^2-1|)$, но если r=1, то распределение суммы $N(0,(\sigma+1)^2)$
А уж фокусы с нелинейными зависимостями (возможно, именно это Вы и имели в виду, говоря о негауссовой сумме гауссовых величин? Да, бывает, скажем, если первое слагаемое $x=N(0,1)$ таково, что |x|<a, то знак $y=N(0,1)$ не меняется, иначе выбирается противоположным знаку x; после такого преобразования y останется нормально распределённым, но сумма x+y уже нормальной не будет)...
Но если мы ничего о зависимости не говорим - обычно подразумевается, что тем самым мы постулируем независимость.

[--mS--]

Евгений Машеров в сообщении #492511 писал(а):

Если в задаче подразумевается зависимость, то надо что-то о зависимости сказать.

В данной задаче условие сформулировано полностью, и независимость там уже есть. См. выше.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Ну, это всё же скорее юридический подход;)
А, скажем, если это инженерная задача - случайная величина а с выхода блока А поступает на вход блока Б, который вырабатывает случайную величину с матожиданием а...

[--mS--]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #492515 писал(а):

Ну, это всё же скорее юридический подход;)
А, скажем, если это инженерная задача - случайная величина а с выхода блока А поступает на вход блока Б, который вырабатывает случайную величину с матожиданием а...

Если постановка такова, что математическое ожидание не является параметром сдвига, то никакой независимости $a$ от $X-a$ не будет, и придётся использовать формулу полной вероятности :) Ещё хуже, если $a$ вообще не является параметром. Тогда и ФПВ не спасёт, пока условное распределение величины из блока Б при фиксированном $a$ не будет задано явно.

[Henrylee]

Евгений Машеров
Про негауссовскую сумму гауссовских Вы уже и сами упомянули в последующем посте. И приведенный Вами пример далеко не единственен.

Не понимаю утверждений "независимость подразумевалась" и "Если в задаче подразумевается зависимость, то надо что-то о зависимости сказать". И категорически с ними не согласен. Если ничего не сказано, значит, ничего и не известно. Совсем другое дело, что

"независимость и уже заложена в условии задачи" (с) --mS--

--mS--

именно это я и имел в виду. Слово должно было прозвучать не "в условии задачи", а в обосновании суммирования.

Ну, пожалуй, прямого жульничества и нет

[_hum_]

--mS-- в сообщении #492500 писал(а):

_hum_ в сообщении #492419 писал(а):

мат. модель исходной задачи

discobot в сообщении #491750 писал(а):

$x$ нормально распределено с матожиданием $a$ и дисперсией $1$, $a$ в свою очередь нормально распределено с матожиданием $0$ и дисперсией $\sigma^2$

можно построить, просто заменив вырожденную с.в. $a$ случайной величиной $\alpha \sim N(0,\sigma^2)$, то, простите, это смахивает на жульничество. Причем очень вредное с методологической точки зрения.

Присоединяюсь к просьбе пояснить, где же тут жульничество. Поскольку именно так и выглядит мат. модель. Был числовой параметр распределения, теперь он "стал" случайной величиной. Байесовский подход называется. Нет?

Да в том-то и дело, что трактовать фразу "распределение со случайным параметром" как "распределение с.в. с числовым параметром, у которой этот параметр заменен другой случайной величиной", на мой взгляд, некорректно (в смысле неправильно, неадекватно). Когда так говорят, подразумевают именно то, что исходная вероятностная модель может быть разложена путем фиксирования значения некоторой случайной величины на условно-вероятностные, в каждой из которых значение параметра распределения нашей с.в. будет совпадать с этим фиксированным значением (именно таким образом на практике и возникают подобные задачи). В том же байессовском подходе известная мне трактовка такая же - сперва разыгрывается значение реализация одной случайной величины (параметра), после чего, принимая ее в качестве значения параметра распределения, разыгрывается реализация другой случайной величины. Тут в явном виде две вероятностные модели (одна из которых условная). И сомнительно, что к теории Байеса можно прийти, используя другую трактовку (не задействуя понятий условных вероятностных моделей).

[Евгений Машеров]

В ситуации "мы ничего не хотим говорить о зависимости" задача недоопределена и решения не имеет. Если предполагается, что задача имеет решение на основе представленных сведений, то независимость подразумевается.

[Henrylee]

Евгений Машеров в сообщении #492549 писал(а):

В ситуации "мы ничего не хотим говорить о зависимости" задача недоопределена и решения не имеет. Если предполагается, что задача имеет решение на основе представленных сведений, то независимость подразумевается.

Неправда Ваша. Не надо додумывать условие и чего-то там подразумевать.
В данном случае независимость уже содержится в условии неявно, о чем и сказала ---mS--- (и что, по моему мнению, требует обоснования, если уж ее использовать и о ней упоминать).

В ином случае решения могло бы и не быть. И не надо искусственно предполагать его наличие.

[profrotter]

Если бы $X$ и $A$ были независимы, то выполнялось бы $p_X(x|a)=p_X(x)$. В данном случае этого не имеет места. С чего вы взяли, что в условии подразумевается какая-то независимость? "Наколеночное решение" зачеркнуть!

[--mS--]

_hum_ в сообщении #492547 писал(а):

Да в том-то и дело, что трактовать фразу "распределение со случайным параметром" как "распределение с.в. с числовым параметром, у которой этот параметр заменен другой случайной величиной", на мой взгляд, некорректно (в смысле неправильно, неадекватно). Когда так говорят, подразумевают именно то, что исходная вероятностная модель может быть разложена путем фиксирования значения некоторой случайной величины на условно-вероятностные, в каждой из которых значение параметра распределения нашей с.в. будет совпадать с этим фиксированным значением (именно таким образом на практике и возникают подобные задачи). В том же байессовском подходе известная мне трактовка такая же - сперва разыгрывается значение реализация одной случайной величины (параметра), после чего, принимая ее в качестве значения параметра распределения, разыгрывается реализация другой случайной величины. Тут в явном виде две вероятностные модели (одна из которых условная). И сомнительно, что к теории Байеса можно прийти, используя другую трактовку (не задействуя понятий условных вероятностных моделей).

Вы меня извините, но что-то очень для меня сложное и непонятное Вы говорите. Стандартная байесовская постановка предполагает наличие двух вероятностных пространств - для наблюдений и для параметра, а совместное их распределение, равно как и условное распределение наблюдений при фиксированном параметре, и любые другие распределения, связанные с этой парочкой, задаётся на одном-единственном пространстве: декартовом произведении этих пространств (с соответствующей сигма-алгеброй, порождённой декартовым произведением сигма-алгебр). Вот на этом пространстве $a$ и $X$ суть случайные величины, ну и т.д. Нет тут никаких "условно-вероятностных моделей" и т.п.

В качестве корректного источника см., например, Ш.Закс "Теория статистических выводов", начало параграфа 2.10, где подробно даётся стандартная байесовская постановка.

-- Сб окт 15, 2011 00:27:39 --

profrotter в сообщении #492562 писал(а):

Если бы $X$ и $A$ были независимы, то выполнялось бы $p_X(x|a)=p_X(x)$. В данном случае этого не имеет места. С чего вы взяли, что в условии подразумевается какая-то независимость? "Наколеночное решение" зачеркнуть!

С чего Вы взяли, что $X$ и $a$ независимы? А-а-а, придумали! Зачеркните свою придумку.