Нормальное распределение со случайным средним

[discobot]

$x$ нормально распределено с матожиданием $a$ и дисперсией $1$, $a$ в свою очередь нормально распределено с матожиданием $0$ и дисперсией $\sigma^2$.
Как выразить функцию распределения такой штуки?

[vladiko]

Попробуйте использовать равенство $N(\mu,\sigma^2)=\mu+\sigma\cdot N(0,1)$

[discobot]

Всё равно не понятно что делать со случайной величиной в качестве матожидания

[Евгений Машеров]

Суммировать. Распределение будет равно распределению суммы случайных величин с нулевыми М.О. и дисперсиями 1 и $\sigma^2$

-- 12 окт 2011, 16:58 --

То есть $N(0,\sigma^2)$

[Henrylee]

Евгений Машеров в сообщении #491884 писал(а):

Суммировать. Распределение будет равно распределению суммы случайных величин с нулевыми М.О. и дисперсиями 1 и $\sigma^2$

-- 12 окт 2011, 16:58 --

То есть $N(0,\sigma^2)$

Почему не $N(0,1)$ или $N(0,1+\sigma^2)$?
Почему вообще величина гауссовская?

[_hum_]

Брр, народ, разве здесь не следует напрямую выполнить декомпозицию на условные вероятностные пространства и представить плотность $p_{\xi}$ искомого распределения как смесь:
$p_{\xi}(x) = \int p_{\alpha}(a)p_{\xi|\alpha}(x|a)da$,
где $p_{\alpha}(a) $ - плотность нормального распределения с параметрами $(0,\sigma^2)$, $p_{\xi|\alpha}(x|a)$ - плотность нормального распределения с параметрами $(a,1)$?

[vladiko]

_hum_
Ну так нет ни каких противоречий, вы написали по определению что плотность суммы двух независимых переменных равна свёртке их плотностей.

[_hum_]

vladiko
Да, согласен, в частности, так и получается. Но мое "брр" относилось не к противоречию, а к советам, которые давали участники выше - вместо того, чтобы предложить обоснованный (общий) способ решения, выдвигали какие-то смутные "используйте равенство" или "суммируйте". А ведь ТС-у, как видится, важно было понять, общий принцип решения -

discobot в сообщении #491824 писал(а):

что делать со случайной величиной в качестве матожидания

[vladiko]

А тогда понятно, в общем случае конечно надо решать как вы сказали.

[--mS--]

Henrylee в сообщении #492111 писал(а):

Почему не $N(0,1)$ или $N(0,1+\sigma^2)$?
Почему вообще величина гауссовская?

Непонятен вопрос. Оба раза - по общеизвестным свойствам нормальных распределений. $N(0,\sigma^2)$, я так понимаю, это опечатка.

[Henrylee]

--mS-- в сообщении #492252 писал(а):

Henrylee в сообщении #492111 писал(а):

Почему не $N(0,1)$ или $N(0,1+\sigma^2)$?
Почему вообще величина гауссовская?

Непонятен вопрос.

Не прозвучало слово "независимость". И вообще идеологически я за подход _hum_

[Евгений Машеров]

0. Конечно, опечатка. Сорри.
Надеюсь, по смыслу понятно, что имел я в виду $N(0,1+\sigma^2)$?
1. Отчего видно, что складывать? А как ещё получить величину с распределением $N(\mu,a)$, как не прибавив $\mu$ к величине с распределением $N(0,a)$?
То есть что сумма - очевидно.
2. Сумма нормальных - нормальна. Дисперсии складываются (ещё раз прошу прощения за очепятку).
Вот для величины со случайной дисперсией уже так просто не получится. И распределение на выходе уже нормальным не будет. Как правило, хвосты утяжеляются.

-- 14 окт 2011, 10:59 --

3. И, безусловно, про независимость не сказано лишь оттого, что это подразумевалось. Предполагается, что они независимы.

[_hum_]

Евгений Машеров в сообщении #492354 писал(а):

1. Отчего видно, что складывать? А как ещё получить величину с распределением $N(\mu,a)$, как не прибавив $\mu$ к величине с распределением $N(0,a)$?
То есть что сумма - очевидно.

Я наверное что-то упускаю, но при чем тут рассуждения о том, как получить

Цитата:

величину с распределением $N(\mu,a)$

к исходной задаче? Если имелось в виду что-то наподобие:
поскольку любую с.в. $\eta \sim N(a,1)$ можно рассматривать как $\eta = a + \zeta$, где $\zeta \sim N(0,1)$, то мат. модель исходной задачи

discobot в сообщении #491750 писал(а):

$x$ нормально распределено с матожиданием $a$ и дисперсией $1$, $a$ в свою очередь нормально распределено с матожиданием $0$ и дисперсией $\sigma^2$

можно построить, просто заменив вырожденную с.в. $a$ случайной величиной $\alpha \sim N(0,\sigma^2)$, то, простите, это смахивает на жульничество. Причем очень вредное с методологической точки зрения.

[vladiko]

Так в этом и прелесть нормального распределения, что зная его свойства можно и "по жульничать", а не решать в лоб.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Так Вам шашечки или ехать?

В смысле, ставится задача найти распределение в определённой задаче или выработать общую методику построения распределений со случайными параметрами?

У данной задачи, как она поставлена, есть два приятных свойства. Что случаен именно параметр сдвига, и что оба распределения нормальны. Если Вы их оба используете, то поставленную задачу решите. Но к решению в общем случае не приблизитесь.