Проверить на предкомпактность

[discobot]

Проверить на предкомпактность такую штуку:
$M = \{f \in C^1[a,b] :\int\limits_a^b(|f(x)|^2 + |f'(x)|^2) dx \leq c\}$
$c$ - константа

[ewert]

Довольно нелепый вопрос: это множество шире некоторого шара в данном пространстве, а шар в бесконечномерном пространстве не может быть предкомпактным.

[discobot]

Не совсем понял, в $C^1[a,b]$ метрика задается через максимум функции и производной, а данная штука с интегралом на шар не похожа.

[ewert]

Да, не сразу заметил -- возможно, этой теоремы к этому моменту ещё не было. Ну тогда просто рассмотрите последовательность, скажем, функций $\frac1n\,\sin(nx)$ (умноженных на подходящую константу). Никакая её подпоследовательность не может стремиться ни к чему, кроме тождественного нуля; но и к нулю она стремиться тоже не может, т.к. последовательность $C^1$-норм явно отделена от нуля.

-- Пн окт 10, 2011 01:07:09 --

discobot в сообщении #491126 писал(а):

а данная штука с интегралом на шар не похожа.

Ну смотря в какую сторону не похожа. Из соответствующей ограниченности $C^1$-нормы следует автоматическое попадание в данное множество -- а это и означает, что данное множество шире некоторого шара.