Основы теории управления. Частотная передаточная функция.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #490274 писал(а):

Я между прочем - зачёт не смог получить уже в третий раз

Должно быть это от того, что вы невнимательно читаете то, что вам пишут на форуме. В частности в этой теме вам уже привели правильную формулу.

[Mikle1990]

profrotter, вот видишь, ты тоже отсылки куда-то даёшь.
Чтоб потом виноватым не оказаться. Если всё так, как ты говоришь, то почему бы тебе, по моей просьбе не сделать вот что "скопировать->вставить"?

AKM:

Предупреждение за фамильярность.
На форуме принято обращаться на "Вы".
Равным образом неуместны поучения на тему, какие ответы Вы желаете получить, а какие нет, периодически Вами выставляемые.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #490375 писал(а):

profrotter, вот видишь, ты тоже отсылки куда-то даёшь.
Чтоб потом виноватым не оказаться. Если всё так, как ты говоришь, то почему бы тебе, по моей просьбе не сделать вот что "скопировать->вставить"?

Думаю потому, что сдаёте зачёт вы. Почему бы вам по моей просьбе не сравнить вашу формулу, в которой должно стоять "что-то другое" с той, удивительно похожей на вашу, но всё же отличной, которую писали в этой теме?

[Mikle1990]

profrotter, не нашёл.

[profrotter]

Давайте найдём одно отличие:

Chifu в сообщении #489923 писал(а):

$W=\frac{Y_{m}}{U_{m}}e^{j(\varphi_{1}-\varphi_{0})}$.

Mikle1990 в сообщении #490274 писал(а):

Вот эта формула:
$W(i\omega)=\frac{U_{m}}{Y_{m}}\cdot e^{i(\varphi_{1}-\varphi_{0})}$- не правильна. А точнее, вместо $\frac{U_{m}}{Y_{m}}$ должно стоять что-то другое, вроде.

Какая же из двух формул правильная? Дело в том, что (как вам уже много раз писалось!) частотная характеристика, которую вы ищете представляет собою отношение комплексных амплитуд выходного гармонического сигнала и входного гармонического сигнала в стационарном режиме. В вашем случае задан сигнал на входе $x(t)=U_mcos(\omega t +\varphi_0)$. $U_m$ называется амплитудой сигнала, $\varphi_0$ называется начальной фазой сигнала. Комплексная ампилитуда гармонического сигнала представляет собою комплексное число, модуль которого равен амплитуде, а аргумент - начальной фазе гармонического сигнала: $\dot{U}_m=U_m e^{i\varphi_0}$. Сигнал на выходе $y(t)=Y_m\cos(\omega t+\varphi_1)$ имеет комплексную амплитуду $\dot{Y}_m=Y_me^{i\varphi_1}$. Ищем частотную характеристику: $W(i\omega)=\frac {\dot{Y}_m} {\dot{U}_m}=...$.

[Mikle1990]

$W(i\omega)=\frac {\dot{Y}_m} {\dot{U}_m}=\frac {{Y}_m} {{U}_m}\cdot e^{i(\varphi_1-\varphi_0)}$.
Спасибо, profrotter

[Chifu]

Это звено, задержка или чистое запаздавание, нелинейное (если я правильно понимаю), т.к. АЧХ постоянна и ФЧХ постоянна и отлична от нуля, т.е. W не зависит от $\omega$.

[profrotter]

Chifu в сообщении #490991 писал(а):

Это звено, задержка или чистое запаздавание, нелинейное (если я правильно понимаю), т.к. АЧХ постоянна и ФЧХ постоянна и отлична от нуля, т.е. W не зависит от $\omega$.

Довольно путаницы. Я вам уже 10 раз повторяю, что для любого звена (описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, иначе - линейного звена с постоянными параметрами и тп) (комплексная) частотная характеристика - это отношение комплексной амплитуды выходного гармонического сигнала к комплексной амплитуде входного гармонического сигнала в стационарном режиме (которое в общем случае зависит от частоты воздействия). И это всё о чём говорит запись $W(i\omega)=\frac {Y_m} {U_m} e^{i(\varphi_1-\varphi_0)}$! И ничего о самом звене из сделанной записи вы сказать не можете!

[Chifu]

profrotter писал(а):

Я вам уже 10 раз повторяю, что для любого звена (описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, иначе - линейного звена с постоянными параметрами и тп) (комплексная) частотная характеристика - это отношение комплексной амплитуды выходного гармонического сигнала к комплексной амплитуде входного гармонического сигнала в стационарном режиме (которое в общем случае зависит от частоты воздействия). И это всё о чём говорит запись $W(i\omega)=\frac {Y_m} {U_m} e^{i(\varphi_1-\varphi_0)}$! И ничего о самом звене из сделанной записи вы сказать не можете!

Ну вот если вы запишите это преобразование (запаздывание) линейными дифференциальными уранениями, то я поверю :). Где в этой формуле зависимость от $\omega$? Передаточная функция это отношение изображений Лапласа, а чтобы получить частотную характеристику надо получить преобразование Фурье, это к тому что переход от $W(s)$ к $W(j\omega)$ прост, но вот что это такое не столь очевидно.

[profrotter]

Chifu в сообщении #491060 писал(а):

Ну вот если вы запишите это преобразование (запаздывание) линейными дифференциальными уранениями, то я поверю :). Где в этой формуле зависимость от $\omega$? Передаточная функция это отношение изображений Лапласа, а чтобы получить частотную характеристику надо получить преобразование Фурье, это к тому что переход от $W(s)$ к $W(j\omega)$ прост, но вот что это такое не столь очевидно.

Рассмотрим систему, описываемую ЛДУ с постоянными коэффициентами:

$$a_n\frac {d^nx(t)} {dt^n}+a_{n-1}\frac {d^{n-1}x(t)} {dt^{n-1}}+...+a_0x(t)=b_n\frac {d^ny(t)} {dt^n}+b_{n-1}\frac {d^{n-1}y(t)} {dt^{n-1}}+...+b_0y(t),$$

где $x(t)$ - сигнал на входе, $y(t)$ - синал на выходе, $a_n,a_{n-1},...,a_0;b_n,b_{n-1},...,b_0$ - постоянные коэффициенты, определяемые структурой системы и параметрами её элементов, независят от времени и от вида и интенсивности входного воздействия. Рассматриваем воздействие на систему при нулевых начальных условиях.
1. Возмём преобразование Лапласа от обеих частей записанного уравнения, обозначим $X(s), Y(s)$ - изображения синалов на входе и выходе соответственно. Тогда с учётом свойства дифференцирования оригинала, получим:

$$a_ns^nX(s)+a_{n-1}s^{n-1}X(s)+...+a_0X(s)=b_ns^nY(s)+b_{n-1}s^{n-1}Y(s)+...+b_0Y(s)$$

Или

$$X(s)(a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)=Y(s)(b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_0).$$

Передаточной функцией системы $W(s)$ называется отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях, то есть:

$$\boxed{W(s)=\frac {Y(s)} {X(s)}=\frac {a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0} {b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_0}.}$$

2. Рассмотрим случай гармонического воздействия $x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi_x)$. Воспользуемся известным фактом, что если некоторая комплексная функция является решением ЛДУ, то её действительная и мнимая части по отдельности тоже являются решениями этого ЛДУ. Это позволяет выполнить анализ при воздействии вида $\dot{x}(t)=\dot{X}_me^{j\omega t}$, где $\dot{X}_m=X_me^{j\varphi_x}$ - комплексная амплитуда входного сигнала. (Для определения сигнала на выходе потом надо будет взять действительную часть результата.) В стационарном режиме (для устойчивой системы) сигнал на выходе представляет собою частное решение ЛДУ системы, которое можно представить в виде $\dot{y}(t)=\dot{Y}_m e^{j\omega t}$, где $\dot{Y}_m$ - комплексная амплитуда выходного сигнала (пока не известна), действительно, так как $\frac {d^k e^{j\omega t}} {dt^{k}}=(j\omega)^ke^{j\omega t}$, непосредственной подстановкой в ДУ получим:

$$\dot{X}_m e^{j\omega t}(a_n(j\omega)^n+a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+a_0)=\dot{Y}_m e^{j\omega t}(b_n(j\omega)^n+b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+b_0),$$

или

$$\dot{X}_m (a_n(j\omega)^n+a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+a_0)=\dot{Y}_m (b_n(j\omega)^n+b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+b_0).$$

Полученное выражение повзоляет определить константу $\dot{Y}_m$, но она нас сейчас не интересует, а интересует отношение комплексной амплитуды выходного сигнала к комплексной амплитуде входного сигнала:

$$\boxed{W(j\omega)= \frac {\dot{Y}_m} {\dot{X}_m}=\frac {a_n(j\omega)^n+a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+a_0} {b_n(j\omega)^n+b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+b_0}.}$$

Полученная функция называется коплексной частотной характеристикой (частотной характеристикой, частотной передаточной функцией и тд и тп). Сравнивая полученное выражение с выражением для передаточной функции легко уставновить их взаимосвязь: КЧХ получается из ПФ путём замены $s$ на $j\omega$.
3. Чтобы вы меня более не утомляли. Возьмём преобразование Фурье от обеих частей ЛДУ системы, обозначим $X(j\omega),Y(j\omega)$ - спектральные плотности (спектральные функции, спектры) входного и выходного сигналов соответственно, тогда, с учётом свойства дифференцирования, получим:

$$a_n(j\omega)^nX(j\omega)+a_{n-1}(j\omega)^{n-1}X(j\omega)+...+a_0X(j\omega)=b_n(j\omega)^nY(j\omega)+b_{n-1}(j\omega)^{n-1}Y(j\omega)+...+b_0Y(j\omega)$$

или

$$X(j\omega)(a_n(j\omega)^n+a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+a_0)=Y(j\omega)(b_n(j\omega)^n+b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+b_0).$$

Рассматривая отношние спектральной плотности сигнала на выходе к спекральной плотности сигнала на входе, запишем:

$$\boxed{W(j\omega)= \frac {Y(j\omega)} {X(j\omega)}=\frac {a_n(j\omega)^n+a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+a_0} {b_n(j\omega)^n+b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+b_0}.}$$

Комплесную частотную характеристику иногда определяют и как отношение спектра выходного сигнала к спектру входного сигнала.
4. КЧХ для задерживающего звена даётся выражением $W(j\omega)=Ke^{-j\omega \Delta t}$, где $\Delta t$ - время задержки. Обратите внимание на показатель экспоненты - там отнюдь не константа! Линейное уравнение для задерживающего звена, которое вас интересовало, имеет вид: $y(t)=Kx(t-\Delta t)$.

[Mikle1990]

Цитата:

Комплексная ампилитуда гармонического сигнала представляет собою комплексное число, модуль которого равен амплитуде, а аргумент - начальной фазе гармонического сигнала: $\dot{U}_m=U_m e^{i\varphi_0}$.

Простите за незнание, но можете написать комплексное число в общем виде и сказать, где модуль, а где аргумент?

$\varphi_0$ называется начальной фазой сигнала.
$\varphi_1$ называется конечной фазой сигнала?

[Chifu]

profrotter" в сообщении #491103 писал(а):

4. КЧХ для задерживающего звена даётся выражением $W(j\omega)=Ke^{-j\omega \Delta t}$, где $\Delta t$ - время задержки. Обратите внимание на показатель экспоненты - там отнюдь не константа! Линейное уравнение для задерживающего звена, которое вас интересовало, имеет вид: $y(t)=Kx(t-\Delta t)$.

Это с изменяющейся фазой. Я что-то не уверен, что это дифференциально-разностная форма именно для формулы без $\omega$, тут мне просто так не разобраться. Кстати дробно-рациональную форму принято записывать в виде произведения эментарных звеньев не более 2-го порядка и среди них нет звена запаздывания (ни с $\omega$, ни без $\omega$).

[Chifu]

Звено чистого запаздывания это всё-таки с фазой $-\tau \omega$. Но это нелинейное звено которое можно включать в анализ линейными методами. Согласен, что отношение двух синусоид с одной частотой, но с разной фазой (или мгновенное состояние частотной характеристики) можно распространить на частотную ось различными способами.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #491172 писал(а):

Простите за незнание, но можете написать комплексное число в общем виде и сказать, где модуль, а где аргумент?

Есть три формы представления комплексного числа:
1. Алгебраическая $z=a+ib$. Тут $a=\operatorname{Re}(z)$ - действительная часть, $b=\operatorname{Im}(z)$ - мнимая часть. ($a,b$ - действительные числа). Например у числа $z=5+5\sqrt{3}i$, действительная часть $a=5$ мнимая часть $b=5\sqrt{3}$, модуль $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=10$, аргумент $\arg(z)=\arctg(\frac b a)=\frac {\pi} 3$
2. Тригонометрическая $z=r(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))$. Тут $r=|z|>0$ - модуль комплексного числа, $\varphi=\arg(z)$ - аргумент комплесного числа ($r,\varphi$ - действительные числа). Например у комплексного числа $z=10(\cos(\frac {\pi} 3)+i\sin(\frac {\pi} 3))$ модуль $r=|z|=10$, а аргумент $\varphi=\arg(z)=\frac {\pi} 3$, действительная часть $a=\operatorname{Re}(z)=r\cos(\frac {\pi} 3)=10\frac 1 2=5$, мнимая часть $a=\operatorname{Im}(z)=r\sin(\frac {\pi} 3)=10\frac {\sqrt{3}} 2=5\sqrt{3}$
3. Показательная (экспоненциальная) $z=re^{i\varphi}$. Тут $r=|z|>0$ - модуль комплексного числа, $\varphi=\arg(z)$ - аргумент комплесного числа. Например у комплексного числа $z=10e^{i\frac {\pi} 3}$ модуль $r=|z|=10$, а аргумент $\varphi=\arg(z)=\frac {\pi} 3$.

Вообще теперь уже прекрасное время. Можно просто сидеть дома на диване с пивом и компьютером и получить доступ к практически любой книжке. Не понимаю как можно позволить себе этим пренебречь? Я уже вам писал, что лучше под рукой иметь справочник по математике, например Бронштейн, Семендяев Справочник по математике для учащихся ВТУЗов. Наберите в поисковой программе и скачайте уже себе эту книгу или подобную. Подумайте, может стоит спросить отдельной темой простую и понятную книжку по комплексным числам. В былые времена приходилось ходить в библиотеку. И ходили!

Mikle1990 в сообщении #491172 писал(а):

$\varphi_0$ называется начальной фазой сигнала.
$\varphi_1$ называется конечной фазой сигнала?

Нет. $\varphi_0$ - начальная фаза входного сигнала, $\varphi_1$ - начальная фаза выходного сигнала.

[Mikle1990]

profrotter, спасибо что расписали. С этой темой вроде прояснилось всё
Если есть что сказать по этой теме, то скажите. Ну т.е. мал ли вы предполагаете, что меня что-то спросят такое, о чём я по теме "$W(i\omega)$" не говорил.