Задачка по теореме Ферма

[age]

Доказать, если $x^n+y^n=z^n$, при $n>2$, то $x+y-z\equiv0\pmod {n^2}$

[nnosipov]

Уточняйте условие, иначе утверждение неверно.

[age]

Докажите!

[nnosipov]

Пожалуйста, вот контрпример: имеем $0^4+1^4=(-1)^4$, однако $0+1-(-1) \not\equiv 0 \pmod{4^2}$.

[age]

Вспомните теорему Ферма. Там о каких числах идёт речь? Тогда и теорема Ферма неверна.

[nnosipov]

Потенциальный решатель Ваших задач не обязан знать формулировку теоремы Ферма, к тому же последняя допускает несколько эквивалентных формулировок (в одной из них числа $x$, $y$, $z$ предполагаются целыми, а показатель $n>2$ --- натуральным). Вряд ли размытость условия задачи будет способствовать её популярности.

[age]

И таблицу умножения тоже. Оставьте проверку корректности условия задачи модераторам. Можете написать кляузу жалобу.

[nnosipov]

Ну, не хотите --- как хотите. Думаю, здесь найдётся немного желающих ловить рыбку в мутной водичке.

-- Вс окт 09, 2011 01:58:56 --

age в сообщении #490783 писал(а):

судя по таким резким протестам со стороны nnosipov

Это ни в коем случае не протест. Это был совет: лучше бы условие задачи уточнить. Я бы сформулировал так: если $x^n+y^n=z^n$, где $x$, $y$, $z$ --- целые числа, а $n$ --- нечётное простое число, то $x+y-z \equiv 0 \pmod{n^2}$. Утверждение это, безусловно, верное, однако, скорее всего, трудное для доказательства. Даже при конкретном $n$, например $n=3$, оно вполне содержательно.

[age]

nnosipov в сообщении #490773 писал(а):

скорее всего, трудное для доказательства.

Скорее не трудное, а более интересное, но правда, Вы правы, его нельзя скорее всего рассматривать как "олимпиадную задачу", т.к. её надо решать в отведённые 4 часа. А здесь можно и месяц провозиться безуспешно.
Просто было интересно, может кто-то сумеет быстро найти оригинальное решение. Мой вариант решения занимает строчек пять.

[venco]

Если исключить тривиальный случай, когда среди $x,y,z$ есть нули, то из ложного высказывания
$x^n+y^n=z^n, n>2$
следует любое, в том числе и
$x+y-z\equiv0\pmod {n^2}$

[age]

(Оффтоп)

[nnosipov]

age в сообщении #490786 писал(а):

Просто было интересно, может кто-то сумеет быстро найти оригинальное решение. Мой вариант решения занимает строчек пять.

Это в стиле venco что ли? Если нет, то напишите эти пять строчек, полюбопытствуем.

[Shadow]

venco в сообщении #490803 писал(а):

Если исключить тривиальный случай, когда среди $x,y,z$ есть нули, то из ложного высказывания
$x^n+y^n=z^n, n>2$
следует любое, в том числе и
$x+y-z\equiv0\pmod {n^2}$

Я думаю age имел ввиду следующее:
При попытке доказательства ВТФ методом от противного, он доказал, что если
$x^n+y^n=z^n, n>2$, то
$x+y-z\equiv0\pmod {n^2}$
И хотя продвинутся дальше в доказательство ему не удалось, факт сам по себе интересный.
Мне тоже интересно посмотреть

[age]

nnosipov в сообщении #490818 писал(а):

напишите эти пять строчек, полюбопытствуем.

Shadow в сообщении #490849 писал(а):

И хотя продвинутся дальше в доказательство ему не удалось, факт сам по себе интересный.
Мне тоже интересно посмотреть

Обязательно. Чуть попозже. Тем более, это совсем не сложно. Вдруг, кто-то сам справится? а я уже написал, лишим человека такой возможности. Давайте, через две недели.

[yk2ru]

Для $n = 3$
Предположим, что $x+y-z$ делится на $3$, но не на $9$.
Запишем:
$x=x_0+3r$
$y=y_0+3r$
$z=x_0+y_0+3r$
Подставляя записанные равенства в $x^3+y^3=z^3$ получим, что $x_0+y_0$ делится на $3$, а значит и $z$ делится на $3$, чего быть не должно.