Про конденсатор, резистор и магнитное поле

[Xblow]

Здравствуйте! Помогите разобраться с задачкой из Савченко (11.2.10):

"В замкнутую цепь электрического контура входит сопротивление R и незаряженный конденсатор С. Докажите, что заряд на конденсаторе в процессе появления, а затем исчезновения магнитного потока через контур, не превышает $\frac{\phi T}{CR^{2}}$, где Т - время существования этого потока, $\phi$ - его максимальное значение."

Пробовал писать систему, но в диффурах закапываюсь... Видимо, нужно где-то удобно что-то сделать.. В общем, помогите!

[Himfizik]

Ну в идеале надо честно решить дифференциальное уравнение (мол, у Вас в цепи источник переменного напряжения, определяемого из закона индукции Фарадея, и $RC$-элементы). Рекомендую проделать.

Но можно просто "животом прочувствовать", что в ответе должно стоять стандартное $\Phi/R$ для заряда, умноженное на число перезарядок конденсатора за все время изменения потока $T/\tau$, где $\tau=RC$. Это, конечно, не строгий вывод, но подумав немного, понимаешь, что ничего другого там стоять не может.

[Xblow]

\phi (t) не дано, поэтому, как считать не знаю:

$$ - R\frac{d^{2}q}{dt^{2}} = \frac{q}{c} - \frac{d\phi}{dt}$$

$$\int_{0}^{T} d\phi(t) = 0 $$

$$\phi (t_{1}) \leq \phi_{0}; (\frac{d\phi(t_{1})}{dt} = 0)$$

Это все, что я знаю. Дальше не получается
Подскажите, как решать, пожалуйста..

[ewert]

Xblow в сообщении #490846 писал(а):

$$ - R\frac{d^{2}q}{dt^{2}} = \frac{q}{c} - \frac{d\phi}{dt}$$

Там первая производная от заряда, а не вторая. Для уравнения первого порядка решение даётся очень простой и очень стандартной явной формулой (для второго формула тоже есть, но посложнее). В данном случае:

$$q(t)=e^{-\frac{t}{RC}}\int\limits_0^te^{\frac{\tau}{RC}}\frac{\phi'(\tau)}{R}\,d\tau.=\dfrac{1}{R}\left(\phi(t)-\int\limits_{\tau=0}^t\varphi(\tau)\,de^{\frac{\tau-t}{RC}}\right)<\dfrac{\phi_{\max}}{R}\,.$$

И эта оценка точна, поскольку при $T\ll RC$ будет $q(t)\approx\dfrac{\phi(t)}{R}$ (что, впрочем, достаточно очевидно и из чисто физических соображений). Соответственно, оценка $q\leqslant\dfrac{\phi_{\max}T}{C\,R^2}$ попросту неверна -- она при $T\ll RC$ даёт многократно заниженное значение.

[Xblow]

ewert в сообщении #490913 писал(а):

Xblow в сообщении #490846 писал(а):

$$ - R\frac{d^{2}q}{dt^{2}} = \frac{q}{c} - \frac{d\phi}{dt}$$

Там первая производная от заряда, а не вторая. Для уравнения первого порядка решение даётся очень простой и очень стандартной явной формулой (для второго формула тоже есть, но посложнее). В данном случае:

$$q(t)=e^{-\frac{t}{RC}}\int\limits_0^te^{\frac{\tau}{RC}}\frac{\phi'(\tau)}{R}\,d\tau.=\dfrac{1}{R}\left(\phi(t)-\int\limits_{\tau=0}^t\varphi(\tau)\,de^{\frac{\tau-t}{RC}}\right)<\dfrac{\phi_{\max}}{R}\,.$$

И эта оценка точна, поскольку при $T\ll RC$ будет $q(t)\approx\dfrac{\phi(t)}{R}$ (что, впрочем, достаточно очевидно и из чисто физических соображений). Соответственно, оценка $q\leqslant\dfrac{\phi_{\max}T}{C\,R^2}$ попросту неверна -- она при $T\ll RC$ даёт многократно заниженное значение.

Насчет второй производной - описался

Это получается как ответ к задаче о пройденном заряде через контур, содержащий резистор в переменном магнитном поле. Честно говоря, вижу первую ляпу в Савченко! Спасибо

[ewert]

Xblow в сообщении #490934 писал(а):

Это получается как ответ к задаче о пройденном заряде через контур, содержащий резистор в переменном магнитном поле.

Естественно, это и есть соответствующий предельный случай: $T\ll RC$ означает очень большую ёмкость конденсатора, что равносильно его закорочению.

[Himfizik]

(Оффтоп)

Ну вот, "живот" подвел, все-таки лучше решать честно.