Колебание функции в точке

[Niflheimr]

Изучаю математический анализ по учебнику Хинчина "Восемь лекций по математическому анализу".
Дошел до раздела "Колебание функции в точке". Одна из теорем вызвала непонимание.



Вот вторая часть теоремы и вызывает непонимание. В ней идет отсылка к теореме:

"Функция y = f(x), непрерывная на закрытом отрезке [a, b], имеет на нем наименьшее и наибольшее значения."

Выше в учебнике, в начале раздела "Колебание функции в точке", было упомянуто, что задается совершенно произвольная функция f(x); но ведь функция может быть задана таким образом (н-р, функция Дирихле), что любая окрестность точки c не будет непрерывной.
Я понимаю, что это не очень важное недоразумение, но я привык к абсолютной точности в доказательствах, и потому испытываю дискомфорт. Может быть, я что-то понимаю неправильно или действительно теорема в данном учебнике недостаточно точна? Если верно второе, то нельзя ли ссылку на более точную версию теоремы?

[bot]

Вот здесь у Вас явный заскок

Niflheimr в сообщении #490600 писал(а):

но ведь функция может быть задана таким образом (н-р, функция Дирихле), что любая окрестность точки c не будет непрерывной.

Окрестность точки - это окрестность точки и ничего более, для задания окрестности точки не нужны никакие функции.

[Niflheimr]

В теореме неявно подразумевается, что в окрестности функция будет непременно непрерывной, и именно на этом неявном допущении строится последующее доказательство. Но ведь непрерывность функции в любой окрестности - это отнюдь не факт. А функция Дирихле - это только пример.

[Circiter]

Вообще-то, как я понял, первая часть доказательства соответствует достаточности, т.е. здесь выводится непрерывность из предпосылки $\omega_f(c)=0$, а вторая часть доказывает необходимость, т.е. $\omega_f(c)=0$ выводится из заранее установленной непрерыности функции. Или я ошибаюсь?

[Niflheimr]

Все верно. Я уже разобрался.
Первая часть доказательства - доказательство достаточности, вторая часть - доказательство необходимости. Доказательство необходимости предполагает уже заранее установленную непрерывность функции в точке, а далее из самого определения непрерывности функции в точке легко выводится существование непрерывных окрестностей.