факторпространство

[Oleg Zubelevich]

$E$ -- рефлексивное банахово пространство; $M\subseteq E$ -- замкнутое подпространство.
Доказать, что $E/M$ рефлексивно.

[Oleg Zubelevich]

Задачка-то для устного счета. Забавно.

[Padawan]

Пусть $\varphi\colon E\to E/M$ -- каноническая проекция. Рассмотрим отображения $A\colon (E/M)^*\to E^*$, определяемое как $Af=f\circ\varphi$. Можно проверить, что $A$ -- изометрический изоморфизм между $(E/M)^*$ и подпространством $L\subset E^*$, состоящем из функционалов, равных нулю на $M$. Любой функционал $F\in L^*$ по теореме Хана-Банаха является ограничением на $L$ некоторого функционала из $E^{**}$. Так как $E$ рефлексивно, то он имеет вид $F(l)=(x,l)$, $l\in L$, где $x\in E$. Тогда любой непрерывный линейный функционал на $(E/M)^*$ имеет вид $F(Af)=(x,f\circ\varphi)=f(\varphi(x))=(\varphi(x),f)$, $f\in (E/M)^*$, т.е. каноническое вложение $E/M$ в $(E/M)^{**}$ является сюръекцией, т.е. $E/M$ рефлексивно.

[Oleg Zubelevich]

а можно в лоб применить теоремк Эберлейна -Шмульяна.