Задача из 7-го класса

[Lion]

Предлагаю следующую очень простую геометрическую задачу. Мне известны случаи, когда эту задачу решали 7-классники и не решали студенты 5-го курса. Так что все желающие могут проверить свои силы в решении задачи 7-го класса.

Итак, условие.
Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AB=BC$. Известно, что $\angle ABC=20^\circ$. На стороне $AB$ от точки $B$ отложен отрезок $BK=AC$. Найдите $\angle KCB$.

P.S. Пожалуйста, не выкладывайте решение сразу, дайте порешать и другим.

[Юстас]

Предполагается, что семиклассники не знают тригонометрию?

[Demurg2000]

У меня получилось $70^\circ$.

[Дядя Фёдор]

Правильлный ответ - $10^\circ$.

Построим сначала один треугольник ABC, а потом продолжим его стороны и с той же версшиной построим ещё один XBY, с базой длина которой AB, посчитаем углы в треугольнике YAC.

[Lion]

Ответ $10^\circ$ правильный, семиклассники тригонометрии не знают.
Дядя Федор, Demurg2000, а Ваши решения используют тригонометрию?

[Дядя Фёдор]

Lion писал(а):

Ответ $10^\circ$ правильный, семиклассники тигонометрии не знают.
Дядя Федор, Demurg2000, а Ваши решения используют тригонометрию?

Нет - я уже дал решение, там нет тригнометрии.

[Lion]

Дядя Фёдор писал(а):

Lion писал(а):

Ответ $10^\circ$ правильный, семиклассники тигонометрии не знают.
Дядя Федор, Demurg2000, а Ваши решения используют тригонометрию?

Нет - я уже дал решение, там нет тригнометрии.

В таком случае, поздравляю: Вы можете поступать в 7 класс!

[Demurg2000]

Lion писал(а):

Ответ $10^\circ$ правильный, семиклассники тригонометрии не знают.
Дядя Федор, Demurg2000, а Ваши решения используют тригонометрию?

Нет,я тоже достраивал.
Используя тригонометрию тоже ответ получился.

[Дядя Фёдор]

Lion писал(а):

В таком случае, поздравляю: Вы можете поступать в 7 класс!

Спасибо, я его уже закончил

[cepesh]

Дядя Фёдор
чего-то в вашем решении не хватает. Например, доказательства того, что угол AYC равен углу KCB

Если я ошибаюсь, то сделайте, пожалуйста, чертеж

[neo66]

$\begin{picture}(100,50) \put(0,0){A \line(1,0){100}} \put(115,0){C} \put(50,80){O} \put(18,2){60} \put(30,10){\circle{3}} \put(88,2){60} \put(100,10){\circle{3}} \put(65,250){B} \put(11,0){\line(1,5){50}} \put(111,0){\line(-1,5){50}} \put(61,0){\line(0,1){250}} \put(11,0){\line(3,5){75}} \put(111,0){\line(-3,5){75}} \put(111,0){\line(-1,3){62}} \put(35,190){K} \end{picture}$


Возьмем внутри треугольника точку O, такую, что треугольник AOC - равносторонний.

Тогда $\angle OCB = 20^\circ$. И треугольники OBC и KBC равны (по двум сторонам и углу между ними ).

Значит $\angle KCB =10^\circ$.

Все.

[Lion]

Вообще, задачка интересна тем, что решить ее можно как угодно, если использовать равносторонний треугольник. Например, его можно достроить на стороне $KB$. А можно построить треугольник, равный $ABC$, на стороне $KB$.
Как видно, это связано с тем, что $\angle ACB=\angle CAB=80^\circ$, $80^\circ-20^\circ=60^\circ$.