Интеграл с функцией Бесселя.

[Kafari]

Доброе утро всем!
У меня вот такая проблема. Решаю уравнение Лапласа в цилиндре, вроде решается, и в итоге общее решение записывается в таком вот виде:

$$\sum^{\infty}_{n=0} \sum^{\infty}_{k=0} \left(A_{nk} \frac{\cosh(\sqrt{\lambda_{nk}} z)}{\cosh(\sqrt{\lambda_{nk}} l)} + B_{nk}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_{nk}} (l-z))}{\cosh(\sqrt{\lambda_{nk}} l)}\right)\cos(n\varphi) J_n (\sqrt{\lambda_{nk}}r) +$$ $$+ \sum^{\infty}_{n=1} \sum^{\infty}_{k=0} \left(C_{nk} \frac{\cosh(\sqrt{\lambda_{nk}} z)}{\cosh(\sqrt{\lambda_{nk}} l)} + D_{nk}\frac{\sinh(\sqrt{\lambda_{nk}} (l-z))}{\cosh(\sqrt{\lambda_{nk}} l)}\right)\sin(n\varphi) J_n (\sqrt{\lambda_{nk}}r)$$

Краевые условия там нулевые Дирихле на всей поверхности, кроме нижнего основания, а вот как раз на этом нижнем основании производная по $z$ равна константе.
Собственно, у меня проблема с тем, чтобы найти коэффициенты в разложении. Мне кажется - поправьте, если ошибаюсь - что те коэффициенты, которые при $\sin(n\varphi)$, обратятся в ноль, потому что чтобы их найти, мне придется синус интегрировать по периоду. Аналогичная ситуация будет с теми коэффициентами, которые стоят при $\cos(n\varphi)$, при $n\ne 0$. А при $n=0, \cos(n\varphi)=1$, у меня остается что-то ( 1/нормы и проч.) и интеграл

$$\int_0^a J_0 (\sqrt{\lambda_{nk}}r)r dr$$

где а - радиус цилиндра. И вот я не знаю, как такой интеграл взять. Он вообще берется?

[ИСН]

Должен как-то выражаться через сами функции Бесселя.

[sergei1961]

Не берётся. Только в виде ряда или обобщённой гипергеометрической функции.

[Kafari]

Понятно. Спасибо! А то вроде в справочниках нет такого..

А если выражаться через функции Бесселя - то как?

[Полосин]

$\dfrac{d}{dz}(zJ_1(z))=zJ_0(z)$

[Kafari]

А это значит, что $\int zJ_0 (z) dz = z J_1 (z)$ ?

[sergei1961]

Да, я лопухнулся. Не обратил внимания, что там индекс ноль, а не произвольный. Интеграл действительно берётся.

[Kafari]

Спасибо всем!
Просто я не очень хорошо знаю теорию про функции Бесселя, их выражения через интегралы и ряды... Нас пока учили только вставлять их в нужное место при решении задач