Теория вещественного числа.

[erid]

У меня два вопроса по формулировке одной леммы, каждый я буду начинать не с формулировки вопроса, а с фактов которые мне известны. С целью избежать перечисление этих фактов в ответах.

Числа на числовой оси упорядочены, но ни для одного из них нельзя указать соседние, то есть такие числа, между которыми бы ни было других чисел, напротив между всякими двумя числами найдётся бесконечное множество других чисел.
теперь вопрос.
относительно "лемма 2" об упорядоченности множества действительных чисел (Фихтенгольц "основы математического анализа" том 1, издание шестое, страница 20). в ней говорится если есть два вещественных числа $a$ и $b$, таких что для любого (сколь угодно малого) рационального $e > 0$ они могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами, разность которых меньше $e$ ($s - s' < e$), то эти числа необходимо равны ($a = b$). В то же время, в случае иррациональности $a$, числа $s$ и $s'$ не совпадают. Можно ли тогда утверждать, что любое число находящееся между числами $s$ и $s'$ будет совпадать с $a$? и если так нельзя ли тогда $s$ и $a$ и соответсвенно $a$ и $s'$ назвать соседними?

Множество иррациональных чисел является более мощным чем множество рациональных чисел.
Второй вопрос по той же лемме. Такие бесконечно малые границы можно задать для любого числа, в том числе и для любого иррационального. Нельзя ли сказать, что в данных абстрактных бесконечно малых границах содержится единственное иррациональное число (глядя на доказаельство Леммы пришёл именно к такому выводу)? И таким образом установить взаимноодназначное соответствие между рациональными и иррациональными числами. Например, каждому иррациональному числу ставить в соответствие меньшее из такой пары рациональных чисел.

Помогите понять, что я не так читаю.

[alcoholist]

По первому вопросу: числа $s$ и $s'$ не фиксированы

По второму вопросу: нет никаких "границ"

[erid]

должно быть лемма - это очень сложно для меня. Помогите хотябы с определением разобраться. Можете объяснить тоже самое на примере определения иррационального числа методом сечения.

То есть, рассматривается разбиение всех рациональных чисел на два непустых множества $A$ $A'$ обладающих свойствами:
1 каждое рациональное число попадает в одно и только в одно из этих двух множеств.
2 каждое число $a$ множества $A$ меньше каждого числа $a'$ множества $A'$

и есть три типа сечений. Третий тип сечения обладает тем свойством, что для задающего его выражения оба класса: и верхний и нижний не имеют ни наименьшего, ни наибольшего числа соответственно. Именно этим типом сечения (и только им) задаются иррациональные числа.
Но
1 таких сечений счётно, а именно: столько же, сколько рациональных чисел. Взаимнооднозначное соответствие можно задать.
2 каждое такое сечение задаёт одно и только одно иррациональное число.
Второй пункт следует из определения равенства иррациональных чисел:
"Два иррациональных числа $a$ и $b$, определяемых, соответственно, сечениями $A | A'$ и $B | B'$ считаются равными в том и только в том случае, если эти сечения тождественны".
Таким образом одно сечение в области рациональных чисел не может задавать различных иррациональных чисел.
Или может?

[PAV]

erid в сообщении #489759 писал(а):

1 таких сечений счётно, а именно: столько же, сколько рациональных чисел. Взаимнооднозначное соответствие можно задать.

Нельзя

[erid]

PAV в сообщении #489766 писал(а):

Нельзя

понять, что ваш ответ верен было не сложно, гораздо сложнее было получить из ваших объяснений
причину отсутствия возможности установить соответствие между множеством рациональных чисел и
множеством сечений в области рациональных чисел. Замечу, что на данном этапе речь не идёт о
множестве действительных чисел. Тут оно ещё только строится. Есть только множество рациональных
чисел и с его то помощью и строится множество иррациональных чисел.

Позвольте объяснить причину моих вопросов - я хочу понять: что же такое множество этих чисел,
чтобы лучше понимать излагаемый материал. Я не отношусь к множеству действительных чисел, как к
чему то интуитивно "итак понятному", тривиальному и базовому. Лично для меня они полная загадка.
Но не поняв, что они из себя представляют не вижу способа понять доказательств теорем относительно
них. Как я могу пытаться понять теоремы о множестве, о котором не имею завершённого
представления? Данный риторичен, и не является темой обсуждения.

Если я правильно вас услышал, то данное соответствие нельзя построить в наглядной форме или же
формальным способом. Но причиной тому: сами условия сечений заданы лишь расплывчатым
описанием, и дана лишь пара отдельно взятых примеров таких условий. Так же описательно дано
определение иррационального числа: "всякое новое разбиение области рациональных чисел
отвечающее условию сечения третьего типа считать соответствующим новому иррациональному числу".

При этом не говорится сколько есть способов задать одно и то же сечение. Допустим, таких способов
существует множество, но это и не важно. В данном случае интерес представляют не способы задать
это сечение, а непосредственно только само сечение. Так как все способы задающие одно и то же
сечение, по определению равенства чисел задают одно и то же число. (Два иррациональных числа
равны в том и только в том случае, если тождественны, определяющие их сечения).

Но ведь мощность множества сечений в области рациональных чисел (то есть способов разбиения
множества рациональных чисел на два подмножества, так чтобы элементы однго были строго меньше
элементов другого*) будет счётно. Что ведёт к тому что и множество новых чисел, которые мы получим
таким способом будет счётно, а на числовой прямой они необходимо будут чередоваться: числа
рациональные и новые числа полученные методом сечения области рациональных чисел.

Далее в книге следует вопрос о полноте построенного множества. И даётся положительный ответ. Так
мы построили с помощью сечений в области РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел всё множество действительных
чисел? Если да, то какова его мощность? Если нет, то что упущено в доказательстве полноты
построенного множества?

---------------------------
* при этом условие (выражение), задающее конкретное разбиение элементов, никакого значения не имеет.

[PAV]

(Оффтоп)

Если бы Вы слили из своего текста все витиеватости изложения и прочую воду, и изложили бы суть вопроса в двух-трех предложениях, то тогда он стал бы более-менее читабелен и мог бы вызвать желание ответить и помочь Вам разобраться.

[Joker_vD]

Ну вот нету у меня сейчас желания модифицировать канторову диагонализацию под дедекиндовы сечения. Хотя это, несомненно, довольно просто.