Найти предел (n!)^(1/n^2)

[Leox]

Доказать что $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n^2]{n!}=1.$
Можно показать, что немного проще предел $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}$ равен $\infty$ но с етим тот же фокус не проходит.

[xmaister]

$\sqrt[n^2]{n!}=e^{\frac1{n^2}\ln n!}$ и теорему Штольца вспомните.

[nnosipov]

Leox в сообщении #489546 писал(а):

Доказать что $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n^2]{n!}=1.$

Прологарифмируйте и сумму логарифмов оцените интегралом. Формула Стирлинга даже и не нужна.

[RIP]

Чё-то как-то сложно всё. Достаточно тривиальной оценки $n!\le n^n$.

[nnosipov]

RIP в сообщении #489567 писал(а):

Достаточно тривиальной оценки $n!\le n^n$

Бывает. Вопрос какой-то странный (в смысле, очевидный).

[Leox]

xmaister в сообщении #489560 писал(а):

$\sqrt[n^2]{n!}=e^{\frac1{n^2}\ln n!}$ и теорему Штольца вспомните.

Имеете ввиду

$$ \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\ln( n!)}{n^2}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\ln (n+1)!-\ln(n!)}{(n+1)^2 -n!}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\ln(n+1)}{2n+1}=0 $$

?

[xmaister]

Leox
Типа да
Но RIP Вам уже написал оценку, лучше ей пользуйтесь

[Leox]

RIP в сообщении #489567 писал(а):

Чё-то как-то сложно всё. Достаточно тривиальной оценки $n!\le n^n$.

Понял - имеем $1 < n!\le n^n $. Отсюда $1 < \sqrt[n^2]{n!} \le \sqrt[n]{n}.$ Поскольку предел справа равен 1 то и предел внутри также равен 1.
Спасибо.