Помогите сосчитать число гомоморфизмов

[Joker_vD]

alcoholist
Ну, да, конечно. Автору топика стоило бы упомянуть, гомоморфизм чего именно ему нужно — группы, кольца? Но понимаете, эта задачка — классическая задачка из теории полей.

Kallikanzarid
Гомоморфизм полугрупп: $f(ab)=f(a)f(b)$.
Гомоморфизм моноидов: $f(ab)=f(a)f(b)$, $f(e)=e$. Любой гомоморфизм моноидов является гомоморфизмом соотвествующих полугрупп, но обратное верно не всегда.
Гомоморфизм групп: то же, что и гомоморфизм моноидов.
Гомоморфизм колец без единицы: он должен быть одновременно гомоморфизмом аддитивной группы и гомоморфизмом мультпликативной полугруппы.
Гомоморфизм колец с единицей: он должен быть одновременно гомоморфизмом аддитивной группы и гомоморфизмом мультпликативного моноида. Собственно, тут и проявляется разница с предыдущим пунктом — теперь $1$ обязяна переходить в $1$.
Гомоморфизм тел: то же, что и гомоморфизм колец с единицей (т.к. мультипликативный моноид тела является группой).
Гомоморфизм полей: то же, что и гомоморфизм тел.

Так вот, если я вижу перед собой поля, я считаю, что нужен именно гомоморфизм полей, если только автор не сказал, что имеется в виду, скажем, аддитивная группа.

[Kallikanzarid]

Joker_vD
Спасибо, я тоже Ленга читал

[bnovikov]

Joker_vD в сообщении #489115 писал(а):

David Sunrise
Пусть есть $f\colon \mathbb Q[\sqrt2]\to\mathbb R$ — вложение полей ..............

А сколько корней у $x^2-2$ в $\mathbb R$?

Почти верно, за исключением двух мелочей:
1) Запись $\mathbb Q[\sqrt2]$ говорит о том, что рассматриваются кольца, а не поля (соответствующее поле обозначается через $\mathbb Q(\sqrt2)$) и стало быть, речь идет о гомоморфизмах колец.
2) У $x^2-2$ все-таки два корня.

[alcoholist]

bnovikov в сообщении #489262 писал(а):

Запись $\mathbb Q[\sqrt2]$ говорит о том, что рассматриваются кольца, а не поля (соответствующее поле обозначается через $\mathbb Q(\sqrt2)$)

рациональные фунцкии с рациональными коэффициентами от $\sqrt{2}$ -- это и есть многочлены от того же $\sqrt{2}$

[bnovikov]

alcoholist в сообщении #489266 писал(а):

рациональные фунцкии с рациональными коэффициентами от $\sqrt{2}$ -- это и есть многочлены от того же $\sqrt{2}$

Да, извините, перепутал $\mathbb Q$ и $\mathbb Z$

[Joker_vD]

bnovikov
1) $\mathbb Q[\sqrt2] = \mathbb Q(\sqrt2)$. Поэтому выбор формы скобок тут обычно диктуется привычкой — в теории чисел чаще используют квадртатные скобки, в теории Галуа — круглые. А если вам повезло изучать "методы алгебраической геометрии в криптографии", то вы будете все время сталкиваться со смешением этих двух обозначений.

2) А я и не говорил нигде, что он один. Но поймите, если бы я в лоб сказал, что их два, то получилось бы полностью готовое решение.