2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 CP=2AP
Сообщение03.10.2011, 00:29 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
Triangle ABC is inscribed in a circle k. The height from C intersects AB and k at the points D and E respectively. F is the middle of the segment BD. A line l through D, perpendicular to EF intersects the segment AC at the point P. Prove that CP=2AP.

 Профиль  
                  
 
 Re: CP=2AP
Сообщение03.10.2011, 07:39 


12/09/11
14
Let $G$ is the middle of segment $FC$. Then $l$ is the median of triangle $AFG$(because 1.$EFGA$ is inscribed in a circle 2. orthocenter is isogonal conjugates to circumcenter 3. Circumcenter in rectangular triangle = the middle of hypotenuse ). Menelaus for triangle $AGC$ and line $DP$ gives $CP=2AP$.

 Профиль  
                  
 
 Re: CP=2AP
Сообщение03.10.2011, 14:13 
Аватара пользователя


26/09/11
28
Saint-Omer
Пусть $K$ - точка симметричная точке $D$ относительно $A$. Так как $FD\cdot{DK}=\frac{BD}{2}\cdot{2DA}=ED\cdot{DC}$, то $FCKE$ - вписанный. Пусть $DP$ пересекает $FE$ и $CK$ в точках $M$ и $N$, соответственно. Тогда $\angle{NCD}=\angle{MFD}=\angle{MDE}=\angle{NDC}$, следовательно $N$ - середина $CK$, а медиана $DN$ треугольника $CDK$ делит другую его медиану $CA$ в отношении 2:1.

 Профиль  
                  
 
 Re: CP=2AP
Сообщение03.10.2011, 21:27 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
Thank you guys. You the problem is easy but I hope nice. You can see more approaches to solve it here:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9#p2458109
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 759#p35759

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group