Фурье-образ. Ноль или не ноль?

[sunnny]

Поставили в тупик таким вопросом.

Пусть есть функция, зависящая только от расстояния до начала координат.
Например, $f(r) = e^{-r}$

Ее Фурье-образ можно посчитать. Обозначим его $f(q)$
$f(q) \equiv \int d^3 r e^{-i \mathbf{q} \mathbf{r}} f(r) = \frac{8 \pi}{(1+q^2)^2}$

Теперь, пусть нужно посчитать образ от функции $ xf(r) $.
Тогда, с одной стороны,

$ \int d^3 r e^{-i \mathbf{q} \mathbf{r}} x f(r) = \int i \frac{\partial}{\partial q_x}e^{-i \mathbf{q} \mathbf{r}} f(r) d^3 r = i \frac{\partial}{\partial q_x} \int e^{-i \mathbf{q} \mathbf{r}} f(r) d^3 r = i \frac{\partial}{\partial q_x} f(q) \ne 0 $

С другой стороны,
$ \int d^3 r e^{-i \mathbf{q} \mathbf{r}} x f(r) = \int_0^{\infty} r^2 dr \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \int_0^{2 \pi} d \varphi r \sin \theta \cos \varphi e^{-i \mathbf{q} \mathbf{r}} e^{-r} = 0 $
за счет интеграла по $d \varphi$.

Я уверен, что верхний ответ правильный, но как получить его нижним методом - совершенно не знаю.
Просьба ткуть пальцем в какую-нибудь книжку, где подобные примеры разобраны.

[sunnny]

Да, здесь не очень видно жирные шрифты в формулах.
В показателях экспоненты под интегралами стоят векторные произведения, т.е.
$e^{-i \mathbf{q} \mathbf{r}} \to e^{-i \vec{q} \vec{r}} $

[alcoholist]

запишите произведение $\bf{qr}$ в полярных координатах

[sunnny]

alcoholist в сообщении #488779 писал(а):

запишите произведение $\bf{qr}$ в полярных координатах

Я не совсем понял о каких _полярных_ координатах идет речь.

Если же ориентировать ось Z системы координат, в которой идет интегрирование, вдоль вектора q,
то можно записать
$\vec{q} \vec{r} = q r \cos \theta$
где $\theta$ - угол между осью Z и r, т.е. зенитный угол.

Тогда
$ \int d^3 r e^{-i \mathbf{q} \mathbf{r}} x f(r) = \int_0^{\infty} r^2 dr \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \int_0^{2 \pi} d \varphi r \sin \theta \cos \varphi e^{-i q r \cos \theta} e^{-r} = 0 $

[alcoholist]

если Вы выбируете удобную для интегрирования СК, то там $x$ -- уже не тот $x$, который в исходной СК абсцисса...

[sunnny]

alcoholist в сообщении #488883 писал(а):

если Вы выбируете удобную для интегрирования СК, то там $x$ -- уже не тот $x$, который в исходной СК абсцисса...

Да, действительно. Мне это как-то даже в голову не приходило. Спасибо.