Решение системы нелинейных дифф. уравнений в Maple

[tpm01]

Здравствуйте, имеется следующая система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных:

$\frac{d^{4}w(x,y)}{dx^4}$+2 $\frac{d^{4}w(x,y)}{dx^2 dy^2}$+$\frac{d^{4}w(x,y)}{dy^4}$-$\frac{t}{D}$\cdot$($\frac{d^{2}f(x,y)}{dy^2}$\cdot$ $\frac{d^{2}w(x,y)}{dx^2}$-2$\cdot $ $\frac{d^{2}f(x,y)}{dxdy}$\cdot$ $\frac{d^{2}w(x,y)}{dxdy}$+$\frac{d^{2}f(x,y)}{dx^2}$\cdot$ $\frac{d^{2}w(x,y)}{dy^2}$)=$\frac{p}{D}$

$\frac{d^{4}f(x,y)}{dx^4}$+2 $\frac{d^{4}f(x,y)}{dx^2 dy^2}$+$\frac{d^{4}f(x,y)}{dy^4}$=E$\cdot$(($\frac{d^{2}w(x,y)}{dxdy})^2$-$\frac{d^{2}w(x,y)}{dx^2}$\cdot$ $\frac{d^{2}w(x,y)}{dy^2}$)$

Имеется по 8 граничных условий для каждой функций $w(x,y)$ и $f(x,y)$:
$w(0,y)=0$
$w(a,y)=0$
$w(x,0)=0$
$w(x,b)=0$

$ \frac{d^{2}w(x,y)}{dx^2}=0$ при $x=0$
$ \frac{d^{2}w(x,y)}{dx^2}=0$ при $x=a$
$ \frac{d^{2}w(x,y)}{dy^2}=0$ при $y=0$
$ \frac{d^{2}w(x,y)}{dy^2}=0$ при $y=b$

$ \frac{d^{2}f(x,y)}{dxdy}=0$ при $x=0$
$ \frac{d^{2}f(x,y)}{dxdy}=0$ при $x=a$
$ \frac{d^{2}f(x,y)}{dxdy}=0$ при $y=0$
$ \frac{d^{2}f(x,y)}{dxdy}=0$ при $y=b$

$ \frac{d^{2}f(x,y)}{dy^2}=q$ при $x=0$
$ \frac{d^{2}f(x,y)}{dy^2}=q$ при $x=a$
$ \frac{d^{2}f(x,y)}{dx^2}=q$ при $y=0$
$ \frac{d^{2}f(x,y)}{dx^2}=q$ при $y=b$

Здесь $q, a, b, p, E, t, D$ - константы, задаю в самом начале документа

Подскажите правильно ли я использую команды для решения этой системы в Maple:

>sys:=diff(w(x,y),x,x,x,x)+2*diff(w(x,y),x,x,y,y)+diff(w(x,y),y,y,y,y)-(t/D1)*(diff(f(x,y),y,y)*diff(w(x,y),x,x)-2*diff(f(x,y),x,y)*diff(w(x,y),x,y)+diff(f(x,y),x,x)*diff(w(x,y),y,y))=(p/D1), diff(f(x,y),x,x,x,x)+2*diff(f(x,y),x,x,y,y)+diff(f(x,y),y,y,y,y)=E*(diff(w(x,y),x,y)^2-diff(w(x,y),x,x)*diff(w(x,y),y,y))
>pdsolve({sys, w(0,y)=0, w(a,y)=0, w(x,0)=0, w(x,b)=0}, w(x,y), fcns, series)

И каким образом включить в код остальные 12 граничных условий? В тех примерах, что я просмотрела, ничего похожего не нашла.
ЗЫ в Maple я чайник, до этого пользовалась MathCAD

[Vince Diesel]

Сомнительно, чтобы maple смог получить символьный ответ, даже если предположить, что он может быть записан в обозримом виде. А численно, насколько я понимаю, maple решает только эволюционные уравнения. Кроме того, если решение существует, то оно неединственно: добавление к $f$ многочлена первого порядка не меняет вида задачи. А заменой $g(x,y)=f(x,y)-q(x^2+y^2)/2$ можно получить систему с нулевыми граничными условиями.

[tpm01]

Vince Diesel, мне символьный в строгом виде и не нужен. Если в виде полинома - приближенный то было бы вообще идеально. А вообще мне нужно решить эту систему с конкретными численными значениями констант в численном виде. Только как это сделать, не знаю. В тех примерах и главах учебников, что я просмотрела оно как-то обрывочно.
И еще, как я понимаю просто, к примеру, $\frac{d^{2}w(0,y)}{dx^2}$=0$ там нельзя записать. Нужно присвоить это выражение от $(x,y)$ какой-то новой функции и уже эту функцию включить в граничные условия?

[Vince Diesel]

Как написано в хелпе

Цитата:

pdsolve/numeric - find numerical solution of time-based partial differential equations

А тут краевые условия заданы с четырех сторон квадрата. Судя по постановке, система предполагается эллиптической. Решение таких задач я в хелпе не нашел. Если это какая-то прикладная задача, то решение, вероятно, должно быть одно. А тут, как я писал выше, если $(w,f)$ - решение, то пара $(w,f+a_1 x+a_2y+a_3)$, $a_i\in \mathbb R$, - тоже решение. Много их, которое нужно? Другими словами, все ли в порядке с постановкой задачи?

[tpm01]

Задача прикладная. Это уравнения изгиба прямоугольной пластинки, шарнирно закрепленной по краям (граничные условия).
$w(x,y)$ - функция прогиба, $f(x,y)$- функция напряжений Эри. И краевые условия с четырех сторон прямоугольника - для каждой функции по 2 условия на 1 сторону. Т.е. там еще граничных условий не хватает? Даже не знаю, что туда можно еще добавить, я не математик. Про те, что написаны - первые 4 это нулевые прогибы по краям пластинки, далее - нулевые изгибающие моменты по краям, нулевые касательные напряжения по краям и последние 4 - нормальные напряжения по краям равны значению q. Числовые данные подставляю для квадратной пластинки.

[Vince Diesel]

По количеству условий достаточно, просто получается, что к функции напряжений можно добавлять линейную функцию и ничего для пластинки не изменится. Насколько это обосновано физически?

По поводу приближенного решения. При $p=0$ пара функций $(0,q(x^2+y^2)/2)$ является решением. Рассмотрев функцию $g=f-q(x^2+y^2)/2$ и переписав систему для функций $g,w$ это замечание дает возможность попробовать искать решение (с нулевыми граничными условиями) методом разложения по малому параметру $\varepsilon=p/D$. Второй способ - просто брать в качестве $w,f$ ряды по $x,y$ (или многочлены какой-то степени $m$) и подставлять в уравнение и граничные условия. Может, удастся последовательно найти несколько первых коэффициентов.

Зы. Еще неплохо бы обосновать, что граничные условия для $f$ (все второго порядка) дают корректную задачу.

[tpm01]

Vince Diesel в сообщении #488691 писал(а):

По поводу приближенного решения. При $p=0$ пара функций $(0,q(x^2+y^2)/2)$ является решением. Рассмотрев функцию $g=f-q(x^2+y^2)/2$ и переписав систему для функций $g,w$ это замечание дает возможность попробовать искать решение (с нулевыми граничными условиями) методом разложения по малому параметру $\varepsilon=p/D$.

Спасибо, поищу литературу и попробую
По поводу приближенного решения, пробовала в рядах. Если скобку в первом уравнении как фиктивную нагрузку представить - там получится уравнение Софи Жермен-Лагранжа и для него есть решение Навье в двойных тригонометрических рядах для шарнирного как раз опирания. Т.е. с функцией $w(x,y)$ и с ее граничными условиями вроде как все ок получается. А вот с функцией $f(x,y)$ Эри не знаю что делать. Беру синусы - по касательным не получаются граничные условия, по нормальным получаются. Беру косинусы - наоборот. Потому к Maple и обратилась, как к последней инстанции.
Если многочлены подставлять - тоже как-бы "метод тыка" получится?
А каким образом можно обосновать, что граничные условия дают корректную задачу? К сожалению у меня весьма скудные познания в математике и это мне очень мешает...

[Vince Diesel]

Кажется, задача некорректна. Стоит сначала разобраться с постановкой. Если на каждой границе было бы по два условия разного порядка (и то, еще смотря каких), тогда бы задача (если, конечно, система эллиптическая) была бы корректной. Вот как для $w$ - условия нулевого и второго порядка. А для $f$ здесь оба второго.

[tpm01]

Спасибо большое, надо подумать будет и литературу покопать.
Хотя вообще говоря функция Эри $f$, она как-бы не сама по себе. Она была введена G. B. Airy в качестве метода решения дифференциальных уравнений равновесия для плоского напряженного состояния. Это в Тимошенко С.П. Гудьер Дж. "Теория упругости".