
-- рефлексивные банаховы пространства.

-- линейный оператор с областью определения

всюду плотной в

. Через

обозначим множство значений

. Множество

плотно в

.
Теорема. Элемент

тогда и только тогда принадлежит

, когда существует такая постоянная

, что для всех

справедливо неравенство

.
Доказательство. Введем линейный функционал

Очевидно,

поэтому найдется линейный функционал

такой, что

для любого

.
Рассмотрим диаграмму:
![$$\xymatrix{F'\supseteq D(A')\ar[r]^p\ar[d]^q&D(A')/\mbox{ker}\, A'\ar[r]^{\tilde A'}\ar[ld]^{r}&R(A')\subseteq E'\ar[lldd]_w\\D(A')/\mbox{ker}\,h\ar[d]^{\tilde h}\\\mathbb{R}}$$ $$\xymatrix{F'\supseteq D(A')\ar[r]^p\ar[d]^q&D(A')/\mbox{ker}\, A'\ar[r]^{\tilde A'}\ar[ld]^{r}&R(A')\subseteq E'\ar[lldd]_w\\D(A')/\mbox{ker}\,h\ar[d]^{\tilde h}\\\mathbb{R}}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/8/ef88ba508426885150e28ff2263b68ae82.png)
Здесь

-- естественные проекции, а операторы

взаимнооднозначны и таковы, что

Обозначим

В пространстве

зададим норму формулой

.
Лемма. Функционал

ограничен в смысле введенной нормы.
Действительно, каждый элемент

можно представить в виде

с некоторым

.
Тогда

Лемма доказана.
Поскольку

является изометрией, то по Лемме линейный функционал

ограничен. По теореме Хана-Банаха он может быть продолжен до ограниченного линейного функционала на

т.е.

.
Таким образом для любого

имеем

. Если через

обозначить элемент, который соответствует

при каноническом изоморфизме

, то получим

. ЧТД