Ретракты, эквивалентность определений.

[Sonic86]

Отсюда:
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Retract
Определения 1 и 2:

Цитата:

A subgroup $H$ of a group $G$ is termed a retract if it satisfies the following equivalent conditions:
1. There is an endomorphism $\sigma$ of $G$ such that $\sigma ^2 = \sigma $ and the image of $\sigma$ is precisely $H$.
2. There is a normal subgroup $N$ of $G$ such that $NH = G$ and $N \cap H$ is trivial.

Не могу врубится, как доказать их эквивалентность.
У меня $G$ - свободная группа ранга 2. Я пытался так: $H \leqslant G$, значит $(\exists N) N \trianglelefteq G, G/N \cong H$. Далее, если $N \cap H = \{ e\}$, то $NH = G$ ($n_1h_1=n_2h_2 \Leftrightarrow n_1n_2^{-1} = h_2h_1^{-1} \in N \cap H$). А вот как показать $N \cap H = \{ e\}$, я не могу додуматься, подскажите

[Joker_vD]

Это чем-то неуловимо напоминает утверждение, что если $G$ — группа, $H,K$ — ее подгруппы, $H\cap K=\{e\}$, $HK=G$, и $xy=yx$ для любых $x \in H$, $y \in K$, то $f\colon H\times K \to G$, $f\colon (x,y)\mapsto xy$ — изоморфизм. Скорее всего, перед вами ослабление этого утверждения.

[Sonic86]

Joker_vD в сообщении #488380 писал(а):

$f\colon H\timesK \to G$, $f\colon (x,y)\mapsto xy$ — изоморфизм

Формулу не видно: $f\colon H \times K \to G$
Но я все равно не врубаюсь. Пусть это верно. А что такое тогда $\sigma$? $(\forall n \in N) \sigma (n)=e$ и $(\forall h \in H) \sigma (h)=h$? ... Тогда $\sigma ^2 = \sigma$ - удовлетворяет определению 1.
А обратно как? ...

-- Сб окт 01, 2011 17:37:04 --

Все-таки понял, почему $N \cap H = \{ e\}$. Пусть $a \in N \cap H$, тогда $a \in H \Rightarrow \sigma (a)=a$. С другой стороны, $H \cong G/N$, пусть $\varphi : G \to G/H$, значит $a \in N \Rightarrow \varphi (a)=e \cdot N$ и тогда для $\tau : G/N \to H \subseteq G$ будет $\tau \varphi (a)=e$. Если бы было $\tau \varphi = \sigma$, то получилось бы верно. Хотя видно, что $\tau \varphi$ - ретракция.
Все-таки не до конца понял
В любом случае, утверждение скорее всего является стандартным фактом, а значит должно быть каноничное доказательство. Хотелось бы увидеть его, для точности и общности и ясности... Я-то использую то, что $G$ - свободная группа, а в общем случае это не так...

[Joker_vD]

Короче, показываю, как делать $1)\to2)$: покажите, что $H$ неподвижно под $\sigma$, и положите $N = \ker \sigma$. Убедитесь.

Как делать $2)\to1)$: положите

$$\left\{\begin{array}{l}\sigma(h)=h,\\\sigma(n)=e,\end{array}\right.$$

после чего проверьте единственность разложения $g = hn$ — предположите противное и разнесите элементы из $H$ и $N$ по разные стороны равенства. Убедитесь.

[Sonic86]

Joker_vD в сообщении #488457 писал(а):

положите $N = \ker \sigma$. Убедитесь.

Во! Вот как $N$ надо было вводить спасибо большое!

[Joker_vD]

Не, ну если у нас слева уже есть нормальный делитель — надо же его испытать? А вообще, все это похоже на связь проектора и разложения линейного пространства в сумму... не удивлюсь, если у "ретракта" есть и третье определение, на языке точных последовательностей.

[Sonic86]

Joker_vD в сообщении #488509 писал(а):

Не, ну если у нас слева уже есть нормальный делитель — надо же его испытать?

Я просто с непривычки торможу.

Joker_vD в сообщении #488509 писал(а):

А вообще, все это похоже на связь проектора и разложения линейного пространства в сумму... не удивлюсь, если у "ретракта" есть и третье определение, на языке точных последовательностей.

Угу, судя по словарям и Вики термин пришел из топологии.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #488509 писал(а):

Не, ну если у нас слева уже есть нормальный делитель — надо же его испытать? А вообще, все это похоже на связь проектора и разложения линейного пространства в сумму... не удивлюсь, если у "ретракта" есть и третье определение, на языке точных последовательностей.

Обычно ретракцию определяют как морфизм, левообратный вложению. Где там точные последовательности?

-- Вс окт 02, 2011 18:04:59 --

Sonic86 в сообщении #488525 писал(а):

Угу, судя по словарям и Вики термин пришел из топологии.

Ну да: если $r \circ i = 1_X$ и $F$ - какой-то функтор, то $Fr \circ Fi = 1_{FX}$, то есть гомотопические группы, гомологии и т. д. ретракта также будут ретрактами.

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #488583 писал(а):

Обычно ретракцию определяют как морфизм, левообратный вложению. Где там точные последовательности?

То ретракция. А это "ретракт", который, если верить Вики, которую цитировал Sonic86, "were first encountered as the right part in short exact sequences that split".

P.S. Не вложению, а сечению.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #488589 писал(а):

То ретракция. А это "ретракт", который, если верить Вики, которую цитировал Sonic86, "were first encountered as the right part in short exact sequences that split".

ИМХО разницы нет, довольно странно, что новые понятия решили искать в таком месте :)

[Joker_vD]

Sonic86 в сообщении #488525 писал(а):

Я просто с непривычки торможу.

С непривычки? Да я вообще больше по коммутативным кольцам специализируюсь, а из теории групп знаю только самые основные определения (господи, я ведь даже не знаю, что такое полупрямое произведение групп). И ничего, решил же

[Sonic86]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #488739 писал(а):

С непривычки? Да я вообще больше по коммутативным кольцам специализируюсь, а из теории групп знаю только самые основные определения (господи, я ведь даже не знаю, что такое полупрямое произведение групп). И ничего, решил же

Я не знаю толком, как работает мой мозг. Но он с непривычки часто тормозит, хорошо хоть не всегда