Равенство, Фурье

[vlad_light]

Показать, что если $f(t)=a(t)\sin(w_0t)$, где $a(t)\geq 0$, то $g(t)=|f(t)|$ удовлетворяет:
$\hat g (w)=-\frac{2}{\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{\hat a(w-2nw_0)}{4n^2-1}$.
Начинаю делать так:
$Fg=F(|f|)=F(a|\sin(w_0t)|)=Fa\star F(|\sin(w_0t)|)$.
Дальше нахожу $F(|\sin(w_0t)|)$:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\sin(w_0t)|\cos wtdt=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}(\int\limits_{2\pi k}^{\pi+2\pi k}-\int\limits_{\pi+2\pi k}^{2\pi+2\pi k})(\sin(w_0t)\cos wt)dt=...$
Скажите, я в правильном направлении?

[sergei1961]

Разве это правильное равенство?

[profrotter]

Правильные пути бывают разными. Судя по всему вас смутила необходимость отыскания преобразования Фурье для периодического сигнала $|\sin(\omega_0 t)|$. Тот способ, которым вы хотите это сделать мне тоже видится несколько громоздким и путаным (пределы у интегралов в последней сумме страшные - при таком раскладе не мудрено запутаться ) Между тем периодический сигнал можно представить в виде ряда Фурье в комплексной форме:

$$s_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t},$$

где $C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s_T(t)e^{-j\omega_n t}$, $T$ - период сигнала, $\omega_n=n \omega_1$ - частота $n$ - ой гармоники, $\omega_1=\frac {2\pi} T$ - частота сигнала. Мы хотим найти преобразование Фурье от периодического сигнала? - Ищем:

$$Fs_T(t)=F[\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t}]$$

Ввиду свойства линейности преобразования Фурье:

$$Fs_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_nF[e^{j\omega_n t}]$$

А так как $F[e^{j\omega_n t}]=2\pi \delta(\omega-\omega_n)$, получаем:

$$Fs_T(t)=2\pi\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_n\delta(\omega-\omega_n)$$

Совет такой: сначала находите коэффициенты ряда Фурье для $|\sin(\omega_0 t)|$, затем записываете выражение для спектральной плотности, подставив их в приведённое мною выражение, потом смотрите что там со свёрткой, учитывая фильтрующее свойство дельта-функции.

[sergei1961]

Мне кажется странным, что интеграл от модуля синуса выражается через преобразование без модуля синуса, поэтому я засомневался в искомой формуле. Она верна?

[profrotter]

(sergei1961)

sergei1961 в сообщении #488011 писал(а):

Мне кажется странным, что интеграл от модуля синуса выражается через преобразование без модуля синуса, поэтому я засомневался в искомой формуле. Она верна?

Если неверна - автор темы напишет об этом, ибо доказать не получится.