Задача представления в другом виде (преобразовать выражение)

[Мастак]

Доказать, что
$(\sqrt{2}-1)^n$, где n - натуральное,
представимо в виде
$\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$, где m - натуральное.

Попытки:
а) по индукции - пусть для k доказано, то
доказать для 2k+1 -- в квадрате представляется, а далее
б) рассмотреть вместе с $\sqrt{m+1}+\sqrt{m}$ - не прошел
с) ...

[ИСН]

Бином Ньютона подумайте про.

[nnosipov]

Полезно вместе с исходным выражением $(\sqrt{2}-1)^n$ рассмотреть и выражение $(1+\sqrt{2})^n$.

[ewert]

Уравнение $\sqrt{m+1}-\sqrt m=\alpha$ (где $\alpha=(\sqrt2-1)^n$) тупо решается: $m=\left(\frac{1-\alpha^2}{2\alpha}\right)^2=\left(\frac12(\frac1{\alpha}-\alpha)\right)^2.$ Теперь, чтобы доказать, что $m$ -- целое, достаточно воспользоваться советом nnosipov и затем чуть-чуть ИСН
.

[мат-ламер]

Индукция проходит очень легко. $(\sqrt 2 -1)^n$ можно представить в виде $a\sqrt 2 - b$ для нечётных $n$, где $2a^2-b^2=1$. Для чётных $n$ аналогичную формулу получите сами.

[Мастак]

мат-ламер в сообщении #487395 писал(а):

Индукция проходит очень легко. $(\sqrt 2 -1)^n$ можно представить в виде $a\sqrt 2 - b$ для нечётных $n$, где $2a^2-b^2=1$. Для чётных $n$ аналогичную формулу получите сами.

да, thanks all за подсказки
только при чем тут - чет и нечет
$(\sqrt 2 -1)^n=a\sqrt 2 - b$, где a>0, b>0 и натуральные
$(\sqrt 2 +1)^n=a\sqrt 2 + b$
$(\sqrt 2 -1)^n(\sqrt 2 +1)^n=1$ => $2a^2-b^2=1$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2+1}-\sqrt{b^2}$

[nnosipov]

Мастак в сообщении #487961 писал(а):

$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2-1}-\sqrt{b^2}$

Всё ли хорошо в этом равенстве?

[Мастак]

nnosipov в сообщении #487962 писал(а):

Мастак в сообщении #487961 писал(а):

$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2-1}-\sqrt{b^2}$

Всё ли хорошо в этом равенстве?

очепатка :)

[nnosipov]

Мастак в сообщении #487961 писал(а):

$(\sqrt 2 -1)^n=a\sqrt 2 - b$, где a>0, b>0 и натуральные

Это верно не всегда.

[мат-ламер]

Мастак в сообщении #487961 писал(а):

только при чем тут - чет и нечет

Для нечётных $n$ эта формула умножается на $-1$. В принципе и одну формулу можно написать.

[Мастак]

мат-ламер в сообщении #488113 писал(а):

Мастак в сообщении #487961 писал(а):

только при чем тут - чет и нечет

Для нечётных $n$ эта формула умножается на $-1$. В принципе и одну формулу можно написать.

$(\sqrt 2 -1)^n=a\sqrt 2 - b$, n - нечетное, a>0, b>0 и натуральные
$(\sqrt 2 +1)^n=a\sqrt 2 + b$
$(\sqrt 2 -1)^n(\sqrt 2 +1)^n=1$ => $2a^2-b^2=1$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2+1}-\sqrt{b^2}$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{c+1}-\sqrt{c}$, c - натуральное

$(\sqrt 2 -1)^n= b - a\sqrt 2 $, n - четное, a>0, b>0 и натуральные
$(\sqrt 2 +1)^n=a\sqrt 2 + b$
$(\sqrt 2 -1)^n(\sqrt 2 +1)^n=1$ => $- 2a^2+b^2=1$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2}-\sqrt{b^2-1}$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{c+1}-\sqrt{c}$, c - натуральное