новые пределы интегрирования при замене переменной

[sadomovalex]

добрый день всем
помогите пожалуйста разобраться в простой вещи - допустим у нас есть интеграл \int_{0}^{2\pi}f(\varphi)d\varphi в полярной системе координат. Пусть преобразование между полярной и декартовой системами задано обычным образом: \left\{\begin{array}{l}x=r_0\cos\varphi \\ y=r_0\sin\varphi \end{array}\right.,
где r_0 - фиксированное число. Нужно вычислить этот интеграл в декартовой системе координат (x,y). Какие пределы интегрирования при этом брать?
Допустим я выражаю \varphi=\arccos\left(\frac{x}{r_0}\right), тогда d\varphi=-\frac{dx}{\sqrt{r_0^2-x^2}}. Тогда искомый интеграл будет равен:
\int_{?}^{?}-\frac{f(\arccos\left(\frac{x}{r_0}\right))dx}{\sqrt{r_0^2-x^2}}.
Вычисляя новые пределы интегрирования, получаем что для новой переменной нижний предел \varphi=\arccos\left(\frac{x}{r_0}\right)=0\rightarrow x=r_0 и верхний предел \varphi=\arccos\left(\frac{x}{r_0}\right)=2\pi\rightarrow x=r_0 совпадают, и интеграл обращается в нуль. Похоже я что-то забыл

[Brukvalub]

Если угол $\varphi$ изменяется от 0 до 2\pi, то замена x=r_0\cos\varphi некорректна, поскольку функция cos\varphi немонотонна, и тогда- не имеет обратной на таком участке.

[sadomovalex]

Но я ведь могу рассматривать исходный интеграл как сумму интегралов по промежуткам [0,\pi] и [\pi, 2\pi], где \cos\varphi монотонен. Но в этом случае также получается для новых пределов [1,-1] и [-1,1] соответственно, и интеграл опять таки обращается в нуль

[Brukvalub]

sadomovalex писал(а):

Но я ведь могу рассматривать исходный интеграл как сумму интегралов по промежуткам [0,\pi] и [\pi, 2\pi], где \cos\varphi монотонен. Но в этом случае также получается для новых пределов [1,-1] и [-1,1] соответственно, и интеграл опять таки обращается в нуль

Это неверно-сумма не всегда будет равна нулю, ведь на каждом из этих участков подинтегральная функция не обязана вести себя одинаково.

[sadomovalex]

Brukvalub писал(а):

Это неверно-сумма не всегда будет равна нулю, ведь на каждом из этих участков подинтегральная функция не обязана вести себя одинаково.

Не совсем Вас понял, т.к. я всего лишь воспользовался свойством определенного интеграла:
\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx

[Brukvalub]

Участку [0,\pi] и участку [\pi, 2\pi] после замен должны соответствовать разные функции, поэтому равенством \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx воспользоваться не удастся.

[sadomovalex]

Brukvalub писал(а):

Участку [0,\pi] и участку [\pi, 2\pi] после замен должны соответствовать разные функции, поэтому равенством \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx воспользоваться не удастся.

ok - на промежутке [0,\pi] я могу воспользоваться заменой \varphi=\arccos(x/r_0), т.к. здесь \cos монотонен и этот промежуток является областью изменения функции \arccos. При этом все преобразования, указанные в исходном посте остаются верными - функция f(\varphi) останется неизменной за исключением замены переменной.
Но что делать для промежутка [\pi, 2\pi]? Какая функция будет соответствовать этому промежутку?

[worm2]

$\varphi=2\pi-\arccos(x/r_0)$

[sadomovalex]

worm2 писал(а):

$\varphi=2\pi-\arccos(x/r_0)$

очень похоже на правду
итак, получили следующее решение: исходный интеграл \int_0^{2\pi}f(\varphi)d\varphi при вычислении в декартовой системе координат нужно искать в виде:
\int_0^{2\pi}f(\varphi)d\varphi=\int_{r_0}^{-r_0}f(\arccos(x/r_0))d\arccos(x/r_0)+\int_{-r_0}^{r_0}f(2\pi-\arccos(x/r_0))d(2\pi-\arccos(x/r_0))
всем огромное спасибо, что помогли найти решение !