Функция Грина для колебаний

[Morkonwen]

Здравствуйте. Верно ли я решил уравнение $x''+\omega ^2 \, x =\delta (t)$
Вышло $x=\frac{1}{2 \omega} Sin(\omega t)$ для $t>=0$ и $x=0$ для $t<0$

Решал в частотной области. Но не уверен как проверить и подставить. Как взять вторую производную от ответа корректно?

AKM:

Вышло $x=\frac{1}{2 \omega} {\color{red}\sin}(\omega t)$ для $t{\color{red}\ge} 0$ и $x=0$ для $t<0$

[Vince Diesel]

В правой части, наверное, должно быть $\delta(t)$. О функции Грина обычно говорят, когда краевая задача есть. А фундаментальное решение этого уравнения (равное нулю при $t<0$) имеет вид $\theta(t)u(t)$, где $\theta$ - функция Хевисайда, а $u(t)$ является решением задачи Коши $u''+\omega^2u=0$, $u(0)=0$, $u'(0)=1$. Так что множитель $1/2$ там лишний.

[Morkonwen]

Vince Diesel в сообщении #482087 писал(а):

решение этого уравнения (равное нулю при $t<0$) имеет вид $\theta(t)u(t)$, где $\theta$ - функция Хевисайда, а $u(t)$ является ...

Спасибо. А на основании чего вы это говорите? Где об этом почитать?

[Vince Diesel]

Есть общая формула для фундаментального решения ОДУ с постоянными коэффициентами. Имеется во Владимиров, "Уравнения математической физики".

[Morkonwen]

Спасибо. А можно как-то напрямую подставить тот вид решения в уравнение и проверить? Насколько я понял первую производную от него вполне можно взять (для хевисайда это дельта функция) а вот со второй производной проблемы. Может как-то проинтегрировать обе части уравнения?

[Vince Diesel]

Кроме выписанных выше свойств для $u$ ничего не нужно. В данном случае для пробной функции $\varphi$, по определению, $(u''+\omega^2u,\varphi)=(u,\varphi''+\omega^2\varphi)$. Расписав это выражение и проинтегрировав первое слагаемое два раза по частям, получим (с учетом того, что интеграл получится от $0$ до $\infty$ и носитель $\varphi$ ограничен), что результат равен $\varphi(0)$.

[ewert]

Morkonwen в сообщении #482164 писал(а):

А можно как-то напрямую подставить тот вид решения в уравнение и проверить?

Очень просто: подставить и проверить. Вне начала координат получается (как и должно было бы быть) тождественный ноль, а скачок первой производной в нуле (и только в нуле) как раз и обеспечивает после повторного дифференцирования дельта-функцию.

Это если нужно ехать. А если нужно шашечки, то да, надо записать с помощью функции Хевисайда и сугубо формально дифференцировать в рамках теории обобщённых функций. Если без омеги (она всё равно непринципиальна), то выйдет так:

$(\theta\cdot\sin)'=\theta'\cdot\sin+\theta\cdot\cos=\delta\cdot\sin+\theta\cdot\cos=0+\theta\cdot\cos;$

$(\theta\cdot\sin)''=(\theta\cdot\cos)'=\theta'\cdot\cos-\theta\cdot\sin=\delta\cdot\cos-\theta\cdot\sin=\delta-\theta\cdot\sin.$

[Morkonwen]

Кстати по поводу граничных условий, правильно я понял для такой функции грина они заменены условием ее равенства нулю при$ t<0$? Получается я всегда должен поинтересоваться физическим смыслом уравнения и сразу наложить условия? То есть нельзя просто сказать что "общее решение неоднородного уравнения это общее решение однородного + частное неоднородного", Я не могу рассматривать решение с функцией грина как некое частное решение?

[Vince Diesel]

Граничые условия не указаны. Так что о какой функции Грина тут речь? А решение $Lu=\delta(t)$ не единственно. Если к нему прибавить любое регулярное решение уравнения $Lu=0$, будет еще одно решение. В частности, так можно получить решение, которое не ноль тождественно на отрицательном луче. Или ноль на положительном луче.