Вопрос про ортогональное дополнение

[maxmatem]

Доказать, что для любого подпространства $U$ векторного пространства $V$ верно следующее соотношение.
$U \oplus U^{\perp}=V$

Я думаю так(просто что-то давно я линейную алгебру уже не шубуршил....)
Нам достаточно показать выполнение двух условий.
1. $U+U^{\perp}=V$
2. $U \cap U^{\perp}=\vec{0} $

Начну со второго. Пусть это не так. т.е $U \cap U^{\perp}=\vec{x} $ где $\vec{x} \neq \vec{0}$.
Тогда $\vec{x} \in U$ и $\vec{x} \in U^{\perp}$ но тогда $\vec{x} \vec{x}=0$ а значит и
$\vec{x} = \vec{0}$ Противоречие.
Рассмотрим первое условие .
Пусть $\vec{x} \in U+U^{\perp}$ значит он представим в виде $\vec{x}= \vec{y}+ \vec{z}$ где $\vec{y} \in (U)$ и $\vec{z} \in (U)^{\perp}$. А значит и $(\vec{y} + \vec{z}) \in V $ .
Обратное что если $\vec{x} \in {V}$ то $\vec{x} \in {U+U^{\perp}}$

Так?

[ewert]

maxmatem в сообщении #486796 писал(а):

Доказать, что для любого подпространства $U$ векторного пространства $V$ верно следующее соотношение.
$U \oplus U^{\perp}=V$

А что такое "векторное пространство"?... Одно дело, если оно конечномерно, и совсем другое -- если размерность бесконечна.

[maxmatem]

В задаче про размерность $V$ совсем не упоминается.

[Nimza]

Вот вспомнилось: $V = C[0,1]$, а $U$ это все полиномы на $[0,1]$. $U + U^\bot \neq V$

[maxmatem]

Nimza
ну так мы про прямую сумму говорим........
Я же говорю что давно не занимался лин.алгеброй вот вспомнил такой критерий.

[мат-ламер]

Nimza. В первом посту maxmatem как-бы намекает, что у нас пространство со скалярным произведением (гильбертово). Поэтому Ваш пример не проходит. maxmatem. В конце Вашего первого поста надо-бы по-подробнее. Может надо сослаться на теорему о существовании и единственности перпендикуляра к подпространству.

[ewert]

maxmatem в сообщении #486810 писал(а):

В задаче про размерность $V$ совсем не упоминается.

И это плохо. Дело в том, что в конечномерном и бесконечномерном пространствах стандартные стратегии диаметрально противоположны. В любом случае теорема об ортогональном дополнении естественным образом связывается с теоремой о проекции, конечно. Но вот в какую сторону-то только. Если пространство конечномерно -- то базовой естественно считать теорему об ортогональном дополнении (которую Вы тут любезно подсунули), она получается чуть ли не автоматически из соображения соответствий размерностей, а там уж и проекции тоже почти автоматом. В бесконечномерном же случае всё в точности наоборот -- там первых соображений попросту нет, в то время как существование проекций (при соответствующих оговорках) вполне естественно.

Так что невозможно ответить на Ваш вопрос, пока Ваше начальство (ну или Вы лично, следуя его указаниям) не сообщите, из каких конкретно исходных позиций предлагалось исходить. Что предполагалось известным на момент постановки задачки, а что нет.

[Nimza]

мат-ламер. Раз используется символ ортогонального дополнения, то понятно, что используется скалярное произведение. У ТС говорится лишь о том, что пространство векторное, но ничего о его полноте по норме, порождаемой скалярным произведением. И сколько я встречал использование скалярного произведения в банаховом пространстве $C[0,1]$ оно всегда определялось как в $L^2$. Поэтому я не понимаю, чем вам мой контрпример не угодил. Конечно, если взять гильбертово пространство и замкнутое подпространство, то теорема будет верна.