Предел последовательности эвольвент

[Алексей К.]

Рассмотрим последовательность функций

$$f_{n+1}(\tau)=\int\limits_0^\tau [L+f_n(t)]\,dt,\qquad\eqno(1)$$

где $f_0(t)>0$ на $(0,\infty)$, $L\ge 0$.
Мне известно доказательство того, что

$$\lim_{n\to\infty}f_n(\tau)=L(e^{\tau}-1). \eqno(2)$$

Оно основано на разложении $f_0(t)$ в ряд. Типа

$$f_\infty(\tau) =L\tau+\dfrac{L\tau^2}{2!}+\dfrac{L\tau^3}{3!}+\ldots =L\left(1+\dfrac{\tau}{1}+\dfrac{\tau^2}{2!}+\dfrac{\tau^3}{3!}+\ldots-1\right)=L(e^{\tau}-1).$$

Следовательно, оно годится для "очень хорошей" ф-ции $f_0(t)$. Но мне чудится, что так должно быть и для других приличных функций, например, кусочно-линейной. Т.е. как бы при многократном интегрировании одновременно достигается и та нужная гладкость, и тот же предел.

Как бы в этом убедиться?

[Padawan]

Для любого $b>0$ оператор $Af (\tau)=\int_0^\tau (L+f(t))dt$ в пространстве $C[0,b]$ имеет сжимающую степень. Значит, имеет единственную неподвижную точку в этом пространстве (см. Колмогоров, Фомин стр. 82), причём к этой неподвижной точке сходятся итерации $A^nf$ при любом начальном приближении.

[Алексей К.]

Спасибо, Padawan.

Мне давно известна теорема о том, что пределом последовательности эвольвент любой кривой является логарифмическая спираль. И лишь недавно задумался: а какая из логарифмических спиралей? Какими свойствами исходной “любой кривой” определяется форма предельной спирали (угол между касательной и полярным радиусом)?

Из древнего доказательства стало ясно, что это спираль с углом $45^\circ$ (2). Выяснились и другие особенности.

-- 03 сен 2011, 10:44 --

Если $s,\tau$ — длина дуги и угол наклона касательной к кривой, и $s=f_0(\tau)$, то для (первой) эвольвенты получим уравнение $s=f_1(\tau)$.
Вот как это происходит с просто параболой: "0" --- ограниченная дуга параболы, "1" --- её первая эвольвента, и ещё вторая "2" и третья "3". При построении эвольвенты на рисунке я просто разматываю нить с параболы, причём перед разматыванием удлиняю нить на некоторую величину $L$, которая и фигурирует в (1),(2).


Чуть правее парабола и три члена последовательности собраны в кучку, с одинаковыми начальными условиями в точке $A$. Красный пунктир --- предельная лог. спираль. Ещё правее --- дуга $AB$, предел кусочка (0) параболы, и дуга $AC$, предел для всей бесконечной ветви параболы.

Предельная эвольвента является лог. спиралью с углом $45^\circ$, у которой от асимптотической точки откушен кусочек длины $L$.
При $L=0$ для той же параболы получим в пределе точку.
Полную лог.спираль получим, если $L=0$ и $\mathrm{Var}\,\tau(s)=\infty$.

Но это ещё не все фокусы с теоремой. Не всегда 45...

[ewert]

Алексей К. в сообщении #479784 писал(а):

Следовательно, оно годится для "очень хорошей" ф-ции $f_0(t)$.

Тут как-то всё с ног на голову поставлено. Этот ряд вовсе не при чём. Речь здесь идёт о методе простых итераций для простейшего уравнения Вольтерра:

$f(\tau)=L\tau+\int\limits_0^{\tau}f(t)\,dt.$

Интегральный оператор в правой части имеет нулевой спектральный радиус (т.е. $\sqrt[n]{\|A^n\|}\to0$ при $n\to\infty$), поскольку величины итерированных ядер очень легко оцениваются явно. Из этого следует и сходимость итерационной процедуры при любом начальном приближении, и единственность решения интегрального уравнения (а значит, и единственность предельной функции). Причём спектральный радиус равен нулю в очень многих пространствах; например, в пространстве ограниченных измеримых функций и, значит, достаточно такую функцию и брать в качестве начального приближения, непрерывность же её вовсе и ни к чему. Впрочем, непрерывность автоматически обеспечится уже после первой же итерации, если только начальное приближение локально суммируемо (а это -- минимально необходимое требование).

Что же касается явной формулы для предельной функции, то она в определённом смысле тривиальна, поскольку интегральное уравнение эквивалентно дифференциальному $f'(\tau)=L+f(\tau)$ с начальным условием $f(0)=0.$ Ну а уж потом эта функция автоматически раскладывается по Тейлору.

[Алексей К.]

ewert в сообщении #479883 писал(а):

Этот ряд вовсе не при чём.

При чём. Я просто слишком сократил оригинальный текст (1892г.)

Byerly, W.E. Elements of the integral calculus. Ginn (1892), pp.133-134 писал(а):

Пусть $s=f(\tau)$ --- уравнение данной кривой. Тогда

$$ s=\int_{0}^{\tau}{[L+f(\tau)]}{d\tau}=L\tau+\int_{0}^{\tau}{f(\tau)}{d\tau}$$

есть её первая эвольвента. Вторая ---

$$ s=\int_{0}^{\tau}{\left(L+L\tau+\int_{0}^{\tau}{f(\tau)}{d\tau}\right)}{d\tau} =L\tau+\dfrac{L\tau^2}{2}+\int\limits_0^\tau \int_{0}^{\tau}{f(\tau)}{\,d\tau^2};$$

$n$-ая эвольвента имееет вид

$$ s=L\tau+\dfrac{L\tau^2}{2}+\dfrac{L\tau^3}{3!}+\ldots+\dfrac{L\tau^n}{n!}+ \int_{0}^{\tau_n}{f(\tau)}{d\tau^n} $$

(так в оригинале обозначено $n$-кратное интегрирование). По теореме Маклорена

$$ f(\tau)=f(0)+\tau f'(0)+\dfrac{\tau^2}{2!}f''(0) +\dfrac{\tau^3}{3!}f'''(0)+\ldots \,.$$

Но $s=0$, когда $\tau=0$. Стало быть, $f(0)=0$, и

$$ \begin{array}{rcl} f(\tau)&=&A_1\tau^{\hphantom{2}}\, +\dfrac{A_2}{2!}\tau^2 +\dfrac{A_3}{3!}\tau^2+\ldots \,,\\ % \int\limits_0^{\tau}{f(\tau)}\,d{\tau} &=&\dfrac{A_1}{2!}\tau^2 +\dfrac{A_2}{3!}\tau^3+\dfrac{A_3}{4!}\tau^3+\ldots \,,\\ % \int\limits_0^{\tau_2}{f(\tau)}{(d\tau)^2} &=&\dfrac{A_1}{3!}\tau^3 +\dfrac{A_2}{4!}\tau^4+\dfrac{A_3}{5!}\tau^5+\ldots \,,\\ % \int\limits_0^{\tau_n}{f(\tau)}{(d\tau)^n} &=&\dfrac{A_1}{(n{+}1)!}\tau^{n{+}1} +\dfrac{A_2}{(n{+}2)!}\tau^{n{+}2} +\dfrac{A_3}{(n{+}3)!}\tau^{n{+}3}+\ldots \,. \end{array} $$

При увеличении $n$ все слагаемые последнего равенства стремятся к нулю (1, Art133),
и в пределе получаем

$$ s=L\tau+\dfrac{L\tau^2}{2!}+\dfrac{L\tau^3}{3!}+\ldots =L\left(1+\dfrac{\tau}{1}+\dfrac{\tau^2}{2!}+\dfrac{\tau^3}{3!}+\ldots-1\right), $$

что есть (I. Art133[2]) $s=L(e^{\tau}-1)$, т.е. логарифмическая спираль.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #479889 писал(а):

Я просто слишком сократил оригинальный текст (1892г.)

Ну мало ли чего в доисторические времена сочиняли.

-- Сб сен 03, 2011 13:25:53 --

Да, кстати, прочитал-таки. Там про оценку кратного интеграла какая-то дикость написана. (Эти интегралы записаны, конечно, безграмотно, ну да бог с ними, не в этом дело.) Он же элементарно (даже по тем временам) сворачивается в $\frac1{(n-1)!}\int_0^{\tau}(\tau-t)^{n-1}f(t)\,dt,$ вот и вся оценка.

[Алексей К.]

Спасибо, но это ещё не всё.

Эти доказательства (с интегрированием от нуля) не применимы для кривых типа лог. спирали: там надо смотреть последовательность

$$f_{n+1}(\tau)=\int\limits_{-\infty}^\tau f_n(t)\,dt.\eqno(3)$$

Для самой лог. спирали $f_0(t)=ae^{bt}$. Получаем $f_1(t)=\frac{a}{b}e^{bt}$, и заменой $t\to t+\dfrac{\ln b}{b}$ получаем конгруэнтность кривой и её первой, сотой, и прочих эвольвент.

(Уточню: кусок лог. спирали от асимптотической точки до некой нормальной точки имеет ограниченную длину $s=f(\tau^\star)$, но неограниченный поворот $\tau\in[-\infty,\tau^\star]$.)

Как разобраться с подобными случаями, когда, например, $f_0(t)=\dfrac{e^t}{1+t^2}$ или чего-то вроде $f_0(t)=\dfrac{e^{2t}}{1+e^t}\:?$

(Сами лог. спирали подсказывают, что пределом, ежели он существует, может быть любая логарифмическая спираль, не только та, что с $b=1=\ctg 45^\circ$).

[Алексей К.]

То есть (3) неточно сформулировано. Пример с лог. спиралью включает ещё и сдвиг аргумента.

[ewert]

ну тут я, наверное, пока ничего разумного не скажу. Тут уже надо думать, а пока лень, ну уж извините

[Алексей К.]

1. Как можно описать ф-ции, которые бесконечно-многократно интегрируются на $(-\infty,a)$? (и какие придумать примеры без экспоненты?)
2. На каких функциях было бы относительно легко поставить чистенные опыты и проверить гипотезу?

Последнее оказалось довольно просто с экспонентой, помноженной на полином. Вот как это выглядит для $f_0(t)=e^t(1-t),\; -\infty<t<1$ (вообще геометрически задача осмыслена, пока ф-ция, т.е. длина дуги кривой, возрастает). Вот результат просто последовательного интегрирования (зелёная линия --- сама функция, красная пунктирная --- ожидаемый предел):


Теперь все синие графики сдвинуты вправо, так, чтобы прошли через ожидаемую неподвижную точку.
(Геометрически замена $\tau\to\tau+\Delta\tau$ --- это поворот эвольвенты на угол $\Delta\tau$). И, действительно похоже, оно стремится к экспоненте (на втором рисунке логарифмы отложены):


Если в начальной функции участвует $e^{bt}$, это и будет пределом, а предельная эвольвента будет соответствующей лог. спиралью).