Ряды: теоретические вопросы о сходимости

[ivan512]

Помогите, пожалуйста, ответить на следующие вопросы:
1) Приведите пример действительной последовательности ${a_n}$ такой, что ряды $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^m$ сходятся при нечетных $m$ и расходятся при четных $m$.
2) Приведите пример действительной последовательности ${a_n}$ такой, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, а ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^3$ расходится.
3) Приведите пример действительных эквивалетных последовательностей ${a_n}$ и ${b_n}$ таких, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, а $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ расходится.
4) Приведите пример положительной бесконечно малой последовательности ${a_n}$ такой, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^na_n$ расходится.
5) Докажите, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ абсолютно сходится, если сходится ряд $\sum_{n=1}^{\infty} n^2a_n^2$

[ИСН]

Очень хорошие вопросы. Сразу и очень убедительно показывают, что признаки - ерунда, а надо чувствовать ряды. Ну давайте начнём с первого. Все степени - это слишком много, непостижимо разумом. Найдите для начала ряд, у которого бы ряд из квадратов расходился. Знаете такой?

[ivan512]

затрудняюсь ответить(

[ИСН]

Ну а просто ряд, который бы расходился? Вот так просто шёл, шёл, и разошёлся. А? Хоть один?

[ivan512]

$\sum \frac {1}{n}$ расходится)

-- 27.09.2011, 14:13 --

я вот попытался при помощи ряда с $a_n=\frac{1}{n^\alpha}$ что то придумать, но что то не выходит при помощи него...

[ИСН]

Так. Ага. Но если $\sum\frac1n$ расходится, то у $\sum{1\over\sqrt{n}}$ расходится ряд из квадратов, не так ли?

[ivan512]

абсолютно верно)

[ИСН]

Так! А как бы нам теперь модифицировать $\sum{1\over\sqrt{n}}$, чтобы он сходился? Может, знак - - -

[ivan512]

я не понял, что Вы имеете ввиду, о каком знаке Вы сказали(

[ИСН]

Ну, знак у кого-нибудь поменять, что ли?

[ivan512]

отвлекусь от первого вопроса, ведь во втором вопросе подходит $a_n=\frac{1}{n^\frac{2}{3}}$, ведь если возвести в куб, то получится расходящийся. Я прав?

-- 27.09.2011, 14:32 --

если поменять знак, то вроде же не изменится сходимость/расходимость ряда...(

[ИСН]

Не отвлекайтесь от первого вопроса. А то мы будем растекаться мыслью по древу и ничего не понимать.
Если у всего ряда целиком поменять знак - тут, конечно, сходимость не изменится. А если не у всего? А если только у некоторых членов?

[ivan512]

ну нужно значит поставить что-то типа $(-1)^k$ в числителе, где $k$ или четное или нечетное, но если потом рассмотреть ряд отдельно при нечетных и отдельно при четных, то не получится сходимости/расходимости

[ИСН]

А зачем рассматривать отдельно ряд при чётных и при нечётных? Это примерно как я отдельно рассмотрю левую половину Вашей персоны - э, скажу, это инвалид какой-то, одна рука, одна нога, таких не берут в космонавты - потом правую, с тем же результатом. И всё, до свидания.
Ряд надо рассматривать целиком. Видали такие ряды, у которых в числителе $(-1)^n$? Про них же много известно.

[ivan512]

ну известно что если член положительный, и сходится к нулю, то ряд сходится, признак Лейбница, если не ошибаюсь