тройной интеграл через цилиндрические координаты

[Dan B-Yallay]

Да, второй угол - $150^°$.
Имеем:

$$\int_{\frac{\pi}6 }^{\frac{5\pi}6 } \Big( \int _{? } ^? \Big( \int _ {?}^{?} \ldots dz \Big)d\rho \Big)d\varphi $$

$$\int_{\frac{\pi}6 }^{\frac{5\pi}6 }  \Big(  \int _{? } ^? \Big(  \int _ {?}^{?} \ldots  dz \Big)d\rho  \Big)d\varphi$$

Теперь разбираемся с пределами второго интеграла. Откуда и до когда меняется радиус-вектор, "заметающий" затемненный сегмент?

[shashechka]

вижу и думаю так: $ \,y$ меняется от 1 до 2
радиус-вектор от плоскости $ \,y$=1 до дуги $\,x^2 + \,y^2 = 4$
правильно?

-- 26.09.2011, 13:56 --

$$ 24 \int_{\frac{\pi}6 }^{\frac{5\pi}6 } d\varphi \int _{1 } ^2 \rho/ (\rho^4) d\rho \int _ {\rho }^2 d\,z = 8 \pi $$

[Алексей К.]

Никакого игрека у нас больше нет, насколько я понимаю. Забыли про него.
Надо взять плоскую картинку, донышко от предыдущей роскошной картинки, на ней нарисовать лучик для какого-то конкретного $\varphi$ из найденного Вами промежутка, и посмотреть от какого значения $\rho_1$ (или $\rho_1(\varphi)$) до какого значения $\rho_2$ изменяется $\rho$, пока лучик внутрь сегмента попадает.
Мне так кажется.

[shashechka]

ну и получается от 1 до 2 попадает лучик)

[Алексей К.]

Нет!
Посмотрите: при угле в 30 градусов: от 2 до 2 попадает лучик, т.е. точечка всего лишь.
Сделаем 31 --- маленький отрезок получим, типа от 1.95 до 2.
Доберёмся до 45 --- ну, наверное, от 1.41 до 2.
И только при 90 градусах это будет, как Вы написали, от 1 до 2.
Постарайтесь разобраться с этим до появления Вашего главного собеседника в этой теме.

-- 26 сен 2011, 17:08 --

Мы эти расстояния вдоль луча должны измерять, это величина $\rho$, полярный радиус, а не $y$. Не в этом ли у Вас непонимашка?

[shashechka]

скорее в этом)))
получается мы идем по дуге против часовой стрелки?
что значит от 2 до 2? как я понимаю контур обхода это проекция на плоскость хОу
тогда получается наоборот предел от 2 до1? хм

[Dan B-Yallay]

[shashechka]

$\rho$ это длина радиуса-вектора проекции точки на плоскость $\,x\,O\,y$
думаю от -2 до 2)